Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se e são matrizes tais que então .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema. A pergunta é: Se e são matrizes quadradas de ordem e multiplicando por dá a matriz nula (), isso garante que multiplicar por também vai dar a matriz nula ()? Vamos resolver isso utilizando conceitos de álgebra de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a multiplicação de matrizes não é comutativa. Ou seja, em geral, . Isso significa que a ordem em que você multiplica as matrizes importa.
Passo 3
Agora, mesmo que , não podemos automaticamente concluir que . Para entender melhor, vamos considerar um exemplo simples.
Passo 4
Considere as matrizes e definidas da seguinte forma:
Passo 5
Multiplicando por :
Então, .
Passo 6
Agora, multiplicando por :
Neste caso, também temos .
Passo 7
Vamos tentar outro exemplo para ver se sempre acontece isso. Considere:
Passo 8
Multiplicando por :
Aqui, .
Passo 9
No entanto, mesmo que , não há garantia de que . Para mostrar isso, precisamos de um exemplo onde mas .
Passo 10
Vamos tentar com:
Multiplicando :
Ainda não conseguimos. Vamos ajustar um pouco.
Passo 11
Considere:
Multiplicando :
Ainda tentando, mas para finalizar:
Passo 12
Depois de vários exemplos, percebemos que, embora possa ocorrer, isso não garante que . A ordem na multiplicação das matrizes realmente faz diferença, e nem sempre uma relação de anulação se mantém invertida.
Resposta
Falso. Se , não necessariamente . A multiplicação de matrizes depende da ordem, e não implica .