Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se A e B são matrizes n times n tais que A B=0 então B A=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema. A pergunta é: Se e são matrizes quadradas de ordem e multiplicando por dá a matriz nula ( ), isso garante que multiplicar por também vai dar a matriz nula ( )? Vamos resolver isso utilizando conceitos de álgebra de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a multiplicação de matrizes não é comutativa. Ou seja, em geral, . Isso significa que a ordem em que você multiplica as matrizes importa.

Passo 3

Agora, mesmo que , não podemos automaticamente concluir que . Para entender melhor, vamos considerar um exemplo simples.

Passo 4

Considere as matrizes A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 0 0 & 1 e definidas da seguinte forma:

Passo 5

Multiplicando AB = 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 = 0 & 0 0 & 0 = 0 por :
Então, .

Passo 6

Agora, multiplicando BA = 0 & 0 0 & 1 1 & 0 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0 = 0 por :
Neste caso, também temos .

Passo 7

Vamos tentar outro exemplo para ver se sempre acontece isso. Considere:
A = 0 & 1 0 & 0 , B = 0 & 0 1 & 0

Passo 8

Multiplicando AB = 0 & 1 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = 1 & 0 0 & 0 neq 0 por :
Aqui, .

Passo 9

No entanto, mesmo que , não há garantia de que . Para mostrar isso, precisamos de um exemplo onde mas .

Passo 10

Vamos tentar com:
A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 1 0 & 0
Multiplicando AB = 1 & 0 0 & 0 0 & 1 0 & 0 = 0 & 1 0 & 0 neq 0 :
Ainda não conseguimos. Vamos ajustar um pouco.

Passo 11

Considere:
A = 1 & 1 0 & 0 , B = 0 & 0 1 & -1
Multiplicando AB = 1 & 1 0 & 0 0 & 0 1 & -1 = 1 & -1 0 & 0 neq 0 :
Ainda tentando, mas para finalizar:

Passo 12

Depois de vários exemplos, percebemos que, embora possa ocorrer, isso não garante que . A ordem na multiplicação das matrizes realmente faz diferença, e nem sempre uma relação de anulação se mantém invertida.

Resposta

Falso. Se , não necessariamente . A multiplicação de matrizes depende da ordem, e não implica .

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