A=[lllll0 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 0].
Calcule e dê o significado das matrizes A^2 e A+A^2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz e precisamos calcular e . Isso envolve conceitos de álgebra de matrizes, especificamente multiplicação de matrizes e operações básicas como adição. Para resolver, vamos multiplicar a matriz por si mesma para obter e, em seguida, somar e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz e somando os produtos correspondentes. A matriz será resultante dessa multiplicação.

Passo 3

Vamos multiplicar cada elemento da linha de (A^2)1,1 = (0 times 0) + (1 times 1) + (1 times 0) + (1 times 0) + (1 times 0) = 0 + 1 + 0 + 0 + 0 = 1 pela coluna correspondente de A^2 = 1 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 3 & 0 & 2 & 1 2 & 0 & 2 & 0 & 1 1 & 2 & 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 & 0 & 1 e somar os resultados. Por exemplo, para o elemento na primeira linha e primeira coluna de :
Repetindo esse processo para todos os elementos, teremos a matriz :

Passo 4

Agora, vamos calcular . Isso significa somar cada elemento correspondente de e . A operação de adição de matrizes é feita elemento a elemento.

Passo 5

Somando A + A^2 = 0+1 & 1+0 & 1+2 & 1+1 & 1+1 1+0 & 0+3 & 1+0 & 1+2 & 0+1 0+2 & 1+0 & 0+2 & 1+0 & 0+1 0+1 & 0+2 & 1+0 & 0+3 & 1+0 0+1 & 0+1 & 0+1 & 1+0 & 0+1 = 1 & 1 & 3 & 2 & 2 1 & 3 & 1 & 3 & 1 2 & 1 & 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 & 3 & 1 1 & 1 & 1 & 1 & 1 e :

Passo 6

Agora, vamos entender o significado dessas matrizes. Se for a matriz de adjacência de um grafo, então nos dá o número de caminhos de comprimento 2 entre os vértices. Já combina as conexões diretas (representadas por ) com as conexões indiretas através de um intermediário (representadas por ).

Resposta

A matriz A^2 = 1 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 3 & 0 & 2 & 1 2 & 0 & 2 & 0 & 1 1 & 2 & 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 & 0 & 1 é:
A + A^2 = 1 & 1 & 3 & 2 & 2 1 & 3 & 1 & 3 & 1 2 & 1 & 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 & 3 & 1 1 & 1 & 1 & 1 & 1
E a matriz é:

Exercícios relacionados

Suponha que A B seja o diâmetro de um circulo e seja C outro ponto qualquer desse circulo. Mostre que os vetores C A e C B são ortogonais.
I - Se P é uma projeção ortogonal em um plano do R^3, então det(P-I)=0.
II - Se T é uma projeção ortogonal em uma reta do R^3, então det(T+2 I)=0.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Considere a matriz A=[llx1 & y1 x2 & y2], veremos que o valor absoluto do det(A) é exatamente a área do paralelogramo determinado pelos vetores u=(x1, y1) e v=(x2, y2), sendo u e v vetores não paralelos.
  • Consideremos o caso em que u e v são perpendiculares. Assim, se x1 neq 0 e x2 neq 0 é claro que
y1x1 cdot y2x2=-1 Rightarrow x1 x2+y1 y2=0
como x1=0 Rightarrow y2=0 e x2=0 Rightarrow y1=0 ( pois u e v são perpendiculares), então:
x1 x2+y1 y2=0, forall u, v
Sejam a a área do paralelogramo determinado por u e v, l1 e l2 comprimentos de u e v respectivamente, assim temos:
a^2=l1^2 l2^2=(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)=|cc x1^2+y1^2 & 0 0 & x2^2+y2^2 |=det(A A^t)=(det(A))^2,
portanto a=|det(A)|.
S1:c2 x-5 y+2 z=0 x+y+z=0 2 x+k z=0
S2:ccx+6 y-k z+w & =0 x+y-w & =0 4 x+y+6 z+k w & =0.
(a) Para cada sistema, encontre os valores de k para os quais o sistema seja possível e indeterminado.
(b) Para cada sistema, considere k=-3 e determine a solução.