Suponha que A B seja o diâmetro de um circulo e seja C outro ponto qualquer desse circulo. Mostre que os vetores C A e C B são ortogonais.

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos um círculo onde o segmento A B é o diâmetro. Isso significa que A e B são pontos opostos na circunferência. Além disso, temos um ponto C em qualquer lugar do círculo. Precisamos mostrar que os vetores C A e C B são ortogonais, ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria dos círculos.

Passo 2

Vamos começar definindo os vetores C A e C B. O vetor C A vai de C para A, e C B vai de C para B. Em termos de coordenadas, se A tem coordenadas (xA, yA), B tem (xB, yB) e C tem (xC, yC), então:
C A = (xA - xC, yA - yC)
C B = (xB - xC, yB - yC)

Passo 3

Para provar que os vetores são ortogonais, precisamos mostrar que o produto escalar entre eles é zero. O produto escalar de dois vetores (u1, u2) e (v1, v2) é dado por:
u cdot v = u1 v1 + u2 v2
Se o produto escalar for zero, os vetores são ortogonais.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar de C A e C B:
C A cdot C B = (xA - xC)(xB - xC) + (yA - yC)(yB - yC)
Nosso objetivo é mostrar que essa expressão é igual a zero.

Passo 5

Sabemos que A e B são extremos do diâmetro do círculo, então o centro do círculo, digamos O, está no ponto médio de AB. As coordenadas de O são:
O ( xA + xB2, yA + yB2 )
Como C está no círculo, a distância de C até O é igual ao raio do círculo, que é metade do diâmetro AB.

Passo 6

Usando o fato de que O é o centro, podemos expressar as coordenadas de C em termos de O. Mas, na verdade, não precisamos das coordenadas específicas. Podemos aproveitar a propriedade que, num círculo, o ângulo inscrito que subtende o diâmetro é reto (90 graus). Isso significa que o ângulo ACB é 90 graus.

Passo 7

Se o ângulo ACB é 90 graus, isso implica que os vetores C A e C B são perpendiculares. E, por definição, vetores perpendiculares têm produto escalar igual a zero.

Passo 8

Portanto, conclu��mos que:
C A cdot C B = 0

Resposta

Os vetores C A e C B são ortogonais, pois seu produto escalar é zero.

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x1 x2+y1 y2=0, forall u, v
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a^2=l1^2 l2^2=(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)=|cc x1^2+y1^2 & 0 0 & x2^2+y2^2 |=det(A A^t)=(det(A))^2,
portanto a=|det(A)|.