Primeiro, vamos lembrar de algumas propriedades importantes dos determinantes que podem nos ajudar:
Determinate de uma matriz transposta: O determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Ou seja, se , então .
Determinante de uma matriz multiplicada por um escalar: Se você multiplica uma linha de uma matriz por um escalar , o determinante da nova matriz será vezes o determinante da matriz original.
Produto de determinantes: O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes individuais. Ou seja, .
Essas propriedades nos ajudam a relacionar os determinantes de matrizes que são transformações uma da outra.
Portanto, a relação entre det(C) = k cdot det(A) e dependerá da operação realizada para obter a partir de . Usando as propriedades dos determinantes, podemos expressar em termos de .
Continuando com o exemplo anterior, se resulta da multiplicação de uma linha de por , então: