Considere a matriz
A=[rrrr 1 & 2 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 & 0 6 & -3 & -3 & 0 1 & 0 & -1 & 1 ]
Determine:
a matriz escalonada reduzida linha equivalente a matria A.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de matrizes. A gente precisa encontrar a matriz escalonada reduzida, que é uma forma simplificada da matriz original onde fica mais fácil ver soluções de sistemas lineares, por exemplo. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss-Jordan. Vamos trabalhar com a matriz A = 1 & 2 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 & 0 6 & -3 & -3 & 0 1 & 0 & -1 & 1 :

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a matriz para que o primeiro elemento da primeira coluna seja 1 (o que já está feito). Esse 1 é chamado de pivô. Agora, queremos zerar todos os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna.
Para isso:
  • Linha 2: Vamos somar 2 vezes a Linha 1 para eliminar o -2.
  • Linha 3: Vamos subtrair 6 vezes a Linha 1 para eliminar o 6.
  • Linha 4: Vamos subtrair 1 vez a Linha 1 para eliminar o 1.
Aplicando essas operações:
1 & 2 & 3 & 1 0 & 5 & 7 & 2 0 & -15 & -21 & -6 0 & -2 & -4 & 0

Passo 3

Agora, vamos para a segunda coluna. O elemento na posição (2,2) é 5, que será nosso próximo pivô. Queremos que ele seja 1, então vamos dividir toda a Linha 2 por 5:
1 & 2 & 3 & 1 0 & 1 & 75 & 25 0 & -15 & -21 & -6 0 & -2 & -4 & 0

Passo 4

Com o pivô 1 na segunda coluna, vamos zerar os elementos acima e abaixo dele.
  • Linha 1: Subtrair 2 vezes a Linha 2.
  • Linha 3: Adicionar 15 vezes a Linha 2.
  • Linha 4: Adicionar 2 vezes a Linha 2.
Realizando essas operações:
1 & 0 & 15 & 15 0 & 1 & 75 & 25 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -25 & 45

Passo 5

Agora, vamos para a terceira coluna. O elemento na posição (4,3) é 1 & 0 & 15 & 15 0 & 1 & 75 & 25 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -2 , que será nosso pivô. Vamos multiplicar a Linha 4 por para que o pivô seja 1:

Passo 6

Com o pivô 1 na terceira coluna, vamos zerar os elementos acima dele.
  • Linha 1: Subtrair 1 & 0 & 0 & 35 0 & 1 & 0 & 165 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -2 vezes a Linha 4.
  • Linha 2: Subtrair vezes a Linha 4.
Aplicando essas operações:

Resposta

A matriz escalonada reduzida linha equivalente a 1 & 0 & 0 & 35 0 & 1 & 0 & 165 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -2 é:

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