Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o determinante da matriz , que é uma matriz . A matriz tem na diagonal principal (onde ) e nas posições fora da diagonal (onde ). Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes de matrizes especiais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da matriz . Ela é assim:
Perceba que todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a e os da diagonal são iguais a .
Passo 3
Para encontrar o determinante dessa matriz, podemos usar uma fórmula específica para matrizes onde todos os elementos da diagonal são iguais a det(A) = (a - b)^n-1 times (a + (n-1)b) e os elementos fora da diagonal são iguais a . A fórmula para o determinante dessa matriz é:
Essa fórmula simplifica o cálculo do determinante sem precisar expandir toda a matriz, o que seria trabalhoso.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. Aqui, temos:
det(A) = (-1 - 1)^4-1 times (-1 + (4-1) times 1) (elementos da diagonal)
(elementos fora da diagonal)
(tamanho da matriz)
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada parte:
Primeiro, calcule -1 - 1 = -2 :
(-2)^3 = -8
Elevando isso à potência -1 + 3 times 1 = -1 + 3 = 2 :