Considere as matrizes A=[ai j]4 times 4 tal que
ai j=c -1 se i=j 1 se i neq j
e B=2 A^2=[bi j]4 times 4. Determine:
det A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o determinante da matriz , que é uma matriz . A matriz tem na diagonal principal (onde ) e nas posições fora da diagonal (onde ). Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes de matrizes especiais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da matriz A = -1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 & 1 1 & 1 & 1 & -1 . Ela é assim:
Perceba que todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a e os da diagonal são iguais a .

Passo 3

Para encontrar o determinante dessa matriz, podemos usar uma fórmula específica para matrizes onde todos os elementos da diagonal são iguais a det(A) = (a - b)^n-1 times (a + (n-1)b) e os elementos fora da diagonal são iguais a . A fórmula para o determinante dessa matriz é:
Essa fórmula simplifica o cálculo do determinante sem precisar expandir toda a matriz, o que seria trabalhoso.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. Aqui, temos:
  • det(A) = (-1 - 1)^4-1 times (-1 + (4-1) times 1) (elementos da diagonal)
  • (elementos fora da diagonal)
  • (tamanho da matriz)
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos calcular cada parte:
  1. Primeiro, calcule -1 - 1 = -2 :
(-2)^3 = -8
Elevando isso à potência -1 + 3 times 1 = -1 + 3 = 2 :
  1. Em seguida, calcule :

Passo 6

Finalmente, multiplique os dois resultados:
det(A) = -8 times 2 = -16

Resposta

det A = -16

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