(3.0 ptos) Determine a transformação inversa (caso exista) de T: R^4 M(2,2) onde
T(x, y, z, t)=[cc -2 x+y & z-y t-x & z+2 t ]2 times 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma transformação linear que pega um vetor de 4 dimensões e transforma em uma matriz . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa transformação tem uma inversa, ou seja, se conseguimos voltar de uma matriz para o vetor original . Para isso, vamos precisar resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o que a transformação T(x, y, z, t) = -2x + y & z - y t - x & z + 2t faz. Ela transforma na seguinte matriz:
Aqui, cada entrada da matriz é uma combinação linear das variáveis .

Passo 3

Agora, para encontrar a inversa de a = -2x + y b = z - y c = t - x d = z + 2t , precisamos expressar em termos das entradas da matriz resultante. Vamos chamar as entradas da matriz de , assim:
Nosso objetivo é resolver esse sistema para .

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
a = -2x + y Rightarrow y = a + 2x
Agora, da terceira equação:
c = t - x Rightarrow t = c + x

Passo 5

Com b = z - y Rightarrow z = b + y = b + (a + 2x) = a + b + 2x e d = z + 2t = (a + b + 2x) + 2(c + x) = a + b + 2x + 2c + 2x = a + b + 2c + 4x expressos em termos de , vamos para a segunda equação:
E da quarta equação:

Passo 6

Agora, temos uma equação só com d = a + b + 2c + 4x Rightarrow 4x = d - a - b - 2c Rightarrow x = d - a - b - 2c4 :
y = a + 2x = a + 2(d - a - b - 2c4) = 2a + d - a - b - 2c2 = a + d - b - 2c2
Com z = a + b + 2x = a + b + 2(d - a - b - 2c4) = 4a + 4b + 2d - 2a - 2b - 4c4 = a + b + d - 2c2 conhecido, podemos encontrar t = c + x = c + d - a - b - 2c4 = 4c + d - a - b - 2c4 = d - a - b + 2c4 :

Resposta

A transformação inversa T^-1( a & b c & d ) = ( d - a - b - 2c4, a + d - b - 2c2, a + b + d - 2c2, d - a - b + 2c4 ) é dada por:

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