Considere a matriz
A=[rrrrr 1 & 3 & 1 & 0 & 0 2 & 7 & 1 & 0 & 0 -1 & -4 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 2 & 3 ]
a) Calcule a inversa de A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a inversa da matriz . Isso está dentro do assunto de Álgebra Linear, especificamente envolvendo matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a inversa de uma matriz, especialmente quando ela tem uma estrutura especial, como blocos separados de números.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz A=[rrrrr 1 & 3 & 1 & 0 & 0 2 & 7 & 1 & 0 & 0 -1 & -4 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 2 & 3 ] :
Perceba que ela é uma matriz bloco-diagonal, ou seja, ela é formada por dois blocos separados: um bloco 3x3 no canto superior esquerdo e um bloco 2x2 no canto inferior direito, com zeros em todo o resto.

Passo 3

A vantagem de uma matriz bloco-diagonal é que sua inversa também será bloco-diagonal, desde que os blocos individuais sejam invertíveis. Então, o que precisamos fazer é encontrar as inversas desses dois blocos separadamente e montar a inversa de com essas inversas nos mesmos lugares.

Passo 4

Vamos chamar o bloco 3x3 de B = [rrr 1 & 3 & 1 2 & 7 & 1 -1 & -4 & 1 ], C = [rr 1 & 2 2 & 3 ] e o bloco 2x2 de :
Primeiro, vamos encontrar .

Passo 5

Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, usamos a fórmula que envolve a matriz dos cofatores, a matriz adjunta e o determinante. Mas, para simplificar, vamos usar o método da matriz aumentada.
Montamos a matriz aumentada [ccc|ccc 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 2 & 7 & 1 & 0 & 1 & 0 -1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 ] , onde é a matriz identidade 3x3:
Vamos realizar operações nas linhas para transformar o lado esquerdo em , o que fará com que o lado direito se torne .

Passo 6

Após realizar as operações (elas são um pouco longas para detalhar aqui, mas envolvem eliminar os elementos abaixo e acima dos pivôs), obtemos:
B^-1 = [rrr 3 & -1 & -1 -2 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 ]

Passo 7

Agora, vamos encontrar C^-1 = 1det(C) [rr 3 & -2 -2 & 1 ] . Para uma matriz 2x2, a inversa é mais simples:
det(C) = (1)(3) - (2)(2) = 3 - 4 = -1
Primeiro, calculamos o determinante de C^-1 = 1-1 [rr 3 & -2 -2 & 1 ] = [rr -3 & 2 2 & -1 ] :
Então,

Passo 8

Agora que temos A^-1 = [rrrrr 3 & -1 & -1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -3 & 2 0 & 0 & 0 & 2 & -1 ] e , podemos montar a inversa de , que será uma matriz bloco-diagonal com e :

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = [rrrrr 3 & -1 & -1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -3 & 2 0 & 0 & 0 & 2 & -1 ] é:

Exercícios relacionados