Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da elipse, a partir dos elementos dados:
d) centro C(1,2), foco F(6,2) e P(4,6) é um ponto da elipse;
(x-1)^245+(y-2)^220=1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a equação de uma elipse sabendo três coisas: o centro da elipse, que é o ponto C(1,2); um foco da elipse, que é o ponto F(6,2); e um ponto que está na elipse, que é P(4,6). Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula padrão da elipse e entender como os elementos dados se relacionam nessa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a posição do centro e do foco para determinar a orientação da elipse. O centro está em (1,2) e o foco em (6,2). Como as coordenadas y são as mesmas, a elipse é horizontal, ou seja, o eixo maior está alinhado no sentido horizontal.

Passo 3

Sabemos que na equação padrão da elipse horizontal, temos:
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1
Onde:
  • (h,k) é o centro da elipse.
  • a é a distância do centro até o vértice no eixo maior.
  • b é a distância do centro até o vértice no eixo menor.
Aqui, (h,k) = (1,2).

Passo 4

Precisamos encontrar os valores de a e b. Primeiro, vamos determinar a distância entre o centro e o foco, que é representada por c. A fórmula que relaciona esses valores na elipse é:
c^2 = a^2 - b^2
Vamos calcular c:
c = distância entre C(1,2) e F(6,2) = 6 - 1 = 5 â
Então,
c = 5 e c^2 = 25

Passo 5

Agora, usamos o ponto P(4,6) que está na elipse para encontrar uma segunda equação. Substituímos as coordenadas de P na equação padrão:
(4-1)^2a^2 + (6-2)^2b^2 = 1 9a^2 + 16b^2 = 1

Passo 6

Temos agora um sistema de duas equações:
9a^2 + 16b^2 = 1 a^2 - b^2 = 25
Vamos resolver esse sistema para encontrar a^2 e b^2. Da segunda equação, podemos expressar b^2 = a^2 - 25.

Passo 7

Substituímos b^2 = a^2 - 25 na primeira equação:
9a^2 + 16a^2 - 25 = 1
Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por a^2(a^2 - 25) para eliminar os denominadores:
9(a^2 - 25) + 16a^2 = a^2(a^2 - 25)
9a^2 - 225 + 16a^2 = a^4 - 25a^2
25a^2 - 225 = a^4 - 25a^2

Passo 8

Vamos reorganizar a equação:
a^4 - 50a^2 + 225 = 0
Podemos resolver essa equação quadrática substituindo u = a^2:
u^2 - 50u + 225 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
u = 50 pm raiz2500 - 9002 = 50 pm raiz16002 = 50 pm 402
Assim, temos duas soluções para u:
u = 50 + 402 = 45 e u = 50 - 402 = 5
Então,
a^2 = 45 ou a^2 = 5
Como a > b, escolhemos a^2 = 45. Então,
b^2 = a^2 - 25 = 45 - 25 = 20

Resposta

A equação da elipse é:
(x-1)^245 + (y-2)^220 = 1

Exercícios relacionados