Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da elipse, a partir dos elementos dados:
d) centro
, foco
e
é um ponto da elipse;
d) centro
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a equação de uma elipse sabendo três coisas: o centro da elipse, que é o ponto
; um foco da elipse, que é o ponto
; e um ponto que está na elipse, que é
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula padrão da elipse e entender como os elementos dados se relacionam nessa fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a posição do centro e do foco para determinar a orientação da elipse. O centro está em
e o foco em
. Como as coordenadas y são as mesmas, a elipse é horizontal, ou seja, o eixo maior está alinhado no sentido horizontal.
Passo 3
Sabemos que na equação padrão da elipse horizontal, temos:
Onde:
-
é o centro da elipse. -
é a distância do centro até o vértice no eixo maior. -
é a distância do centro até o vértice no eixo menor.
Aqui,
.
Passo 4
Precisamos encontrar os valores de
e
. Primeiro, vamos determinar a distância entre o centro e o foco, que é representada por
. A fórmula que relaciona esses valores na elipse é:
Vamos calcular
:
Então,
Passo 5
Agora, usamos o ponto
que está na elipse para encontrar uma segunda equação. Substituímos as coordenadas de P na equação padrão:
Passo 6
Temos agora um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
. Da segunda equação, podemos expressar
.
Passo 7
Substituímos
na primeira equação:
Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Passo 8
Vamos reorganizar a equação:
Podemos resolver essa equação quadrática substituindo
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções para
:
Então,
Como
, escolhemos
. Então,
Resposta
A equação da elipse é: