Considere a matriz
A=[rrrrr 1 & 3 & 1 & 0 & 0 2 & 7 & 1 & 0 & 0 -1 & -4 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 2 & 3 ]
b) Encontre a solução para o sistema A X=B, onde B^t=[lllll0 & -1 & 0 & 0 & 7].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a solução do sistema linear , onde é uma matriz dada e é um vetor. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre como resolver sistemas lineares usando matrizes. Para isso, vamos precisar entender como manipular matrizes e resolver equações lineares passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a matriz A=[rrrrr 1 & 3 & 1 & 0 & 0 2 & 7 & 1 & 0 & 0 -1 & -4 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 2 & 3 ], B^t=[lllll0 & -1 & 0 & 0 & 7] e o vetor B = 0 -1 0 0 7 :
Aqui, indica que é um vetor coluna:

Passo 3

Observando a matriz , percebemos que ela possui uma estrutura especial: os primeiros três elementos de cada linha envolvem apenas as primeiras três colunas, e os últimos dois elementos envolvem apenas as últimas duas colunas. Isso significa que podemos dividir o sistema em duas partes menores e mais fáceis de resolver.

Passo 4

Vamos dividir o vetor X = X1 X2 em duas partes:
X1 = x1 x2 x3 , X2 = x4 x5
onde:
A1 X1 = B1 e A2 X2 = B2
Com isso, o sistema A1 = [rrr 1 & 3 & 1 2 & 7 & 1 -1 & -4 & 1 ], B1 = 0 -1 0 se divide em:
A2 = [rr 1 & 2 2 & 3 ], B2 = 0 7
onde:

Passo 5

Agora, vamos resolver o primeiro sistema [rrr|r 1 & 3 & 1 & 0 2 & 7 & 1 & -1 -1 & -4 & 1 & 0 ] :
Usando o método de eliminação de Gauss, vamos eliminar as variáveis para encontrar .

Passo 6

Primeiro, mantemos a primeira linha como está. Em seguida, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e adicionamos a primeira linha à terceira linha:
[rrr|r 1 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & -1 0 & -1 & 2 & 0 ]

Passo 7

Agora, somamos a segunda linha à terceira linha para eliminar a variável [rrr|r 1 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & -1 0 & 0 & 1 & -1 ] :

Passo 8

A partir daqui, resolvemos de baixo para cima:
Da terceira linha: 7 -2 -1
Da segunda linha:
Da primeira linha:
Então,

Passo 9

Agora, vamos resolver o segundo sistema [rr|r 1 & 2 & 0 2 & 3 & 7 ] :
Novamente, usamos a eliminação de Gauss.

Passo 10

Mantemos a primeira linha e subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda:
[rr|r 1 & 2 & 0 0 & -1 & 7 ]

Passo 11

Da segunda linha: 14 -7
Da primeira linha:
Então,

Resposta

A solução do sistema X = 7 -2 -1 14 -7 é:

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