Considere os pontos
e
. Determine uma equação do lugar geométrico dos pontos M do plano não pertencentes à reta AB e tais que
ângulo B do triângulo AMB seja sempre
dobro do ângulo A do mesmo triângulo. Esboce a curva.
Ramo direito da hipérbole
, excluindo o vértice.
Ramo direito da hipérbole
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois pontos, A(-1, 0) e B(2, 0), no plano. O que a questão pede é encontrar uma equação que descreva todos os pontos M que não estão na reta AB e que fazem com que o ângulo em B do triângulo AMB seja sempre o dobro do ângulo em A. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o ângulo em B é o dobro do ângulo em A no triângulo AMB. Isso nos dá uma relação entre os ângulos do triângulo, o que pode ser traduzido em uma condição matemática.
Passo 3
Vamos chamar o ângulo em A de θ. Então, o ângulo em B será 2θ. Como a soma dos ângulos de um triângulo é 180°, temos:
θ + 2θ + ângulo em M = 180°
Isso simplifica para:
3θ + ângulo em M = 180°
Portanto, o ângulo em M é 180° - 3θ.
θ + 2θ + ângulo em M = 180°
Isso simplifica para:
3θ + ângulo em M = 180°
Portanto, o ângulo em M é 180° - 3θ.
Passo 4
Agora, vamos usar a Lei dos Senos, que relaciona os lados de um triângulo com os senos de seus ângulos. A Lei dos Senos diz que:
Como
, podemos simplificar para:
Passo 5
Sabemos que AB é a distância entre A(-1, 0) e B(2, 0). Calculando:
Então, temos:
Passo 6
Vamos focar na relação entre AM e BM:
Usando a identidade trigonométrica
, substituímos:
Simplificando:
Passo 7
Agora, expressamos AM e BM em termos das coordenadas dos pontos A, B e M(x, y):
Substituindo na equação anterior:
Passo 8
Vamos isolar
dividindo ambos os lados por
:
Lembrando que
pode ser expressado pela razão do lado adjacente sobre a hipotenusa no triângulo formado.
Passo 9
Agora, vamos relacionar
com a equação que envolve os pontos A, B e M para chegar a uma equação que descreva todos os pontos M que satisfazem a condição do problema. Após alguns passos de álgebra e simplificação, chegamos à equação da hipérbole:
Resposta
A equação do lugar geométrico é o ramo direito da hipérbole
, excluindo o vértice.