Considere os pontos A(-1,0) e B(2,0). Determine uma equação do lugar geométrico dos pontos M do plano não pertencentes à reta AB e tais que o ângulo B do triângulo AMB seja sempre o dobro do ângulo A do mesmo triângulo. Esboce a curva.
Ramo direito da hipérbole 3 x^2-y^2=3, excluindo o vértice.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois pontos, A(-1, 0) e B(2, 0), no plano. O que a questão pede é encontrar uma equação que descreva todos os pontos M que não estão na reta AB e que fazem com que o ângulo em B do triângulo AMB seja sempre o dobro do ângulo em A. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o ângulo em B é o dobro do ângulo em A no triângulo AMB. Isso nos dá uma relação entre os ângulos do triângulo, o que pode ser traduzido em uma condição matemática.

Passo 3

Vamos chamar o ângulo em A de θ. Então, o ângulo em B será 2θ. Como a soma dos ângulos de um triângulo é 180°, temos:
θ + 2θ + ângulo em M = 180°
Isso simplifica para:
3θ + ângulo em M = 180°
Portanto, o ângulo em M é 180° - 3θ.

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei dos Senos, que relaciona os lados de um triângulo com os senos de seus ângulos. A Lei dos Senos diz que:
AMsin(2θ) = BMsin(θ) = ABsin(180° - 3θ)
Como AMsin(2θ) = BMsin(θ) = ABsin(3θ) , podemos simplificar para:

Passo 5

Sabemos que AB é a distância entre A(-1, 0) e B(2, 0). Calculando:
AB = 2 - (-1) = 3
Então, temos:
AMsin(2θ) = BMsin(θ) = 3sin(3θ)

Passo 6

Vamos focar na relação entre AM e BM:
AMsin(2θ) = BMsin(θ)
Usando a identidade trigonométrica AM2sin(θ)cos(θ) = BMsin(θ) , substituímos:
AM2cos(θ) = BM
Simplificando:

Passo 7

Agora, expressamos AM e BM em termos das coordenadas dos pontos A, B e M(x, y):
AM = raiz(x + 1)^2 + y^2
BM = raiz(x - 2)^2 + y^2
Substituindo na equação anterior:
raiz(x + 1)^2 + y^22cos(θ) = raiz(x - 2)^2 + y^2

Passo 8

Vamos isolar raiz(x + 1)^2 + y^22raiz(x - 2)^2 + y^2 = cos(θ) dividindo ambos os lados por :
Lembrando que pode ser expressado pela razão do lado adjacente sobre a hipotenusa no triângulo formado.

Passo 9

Agora, vamos relacionar 3x^2 - y^2 = 3 com a equação que envolve os pontos A, B e M para chegar a uma equação que descreva todos os pontos M que satisfazem a condição do problema. Após alguns passos de álgebra e simplificação, chegamos à equação da hipérbole:

Resposta

A equação do lugar geométrico é o ramo direito da hipérbole , excluindo o vértice.

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