Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F=nabla f. F(x, y, z)=x y z^2 i+x^2 y z^2 j+x^2 y^2 z k.

Passo 1

Vamos analisar o problema: precisamos verificar se o campo vetorial F(x, y, z) = x y z^2 i + x^2 y z^2 j + x^2 y^2 z k é conservativo. Se for, encontraremos uma função f tal que F = nabla f. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e o cálculo do rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial f tal que F = nabla f. Uma condição necessária para que um campo seja conservativo é que seu rotacional seja igual a zero, ou seja, nabla times F = 0.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F, que é dado por:
nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z x y z^2 & x^2 y z^2 & x^2 y^2 z

Passo 4

Expandindo o determinante, temos:
nabla times F = ( partialpartial y(x^2 y^2 z) - partialpartial z(x^2 y z^2) ) i - ( partialpartial x(x^2 y^2 z) - partialpartial z(x y z^2) ) j + ( partialpartial x(x^2 y z^2) - partialpartial y(x y z^2) ) k

Passo 5

Calculando cada derivada:
Para a componente i:
partialpartial y(x^2 y^2 z) = 2x^2 y z partialpartial z(x^2 y z^2) = 2x^2 y z
Então,
i: 2x^2 y z - 2x^2 y z = 0
Para a componente j:
partialpartial x(x^2 y^2 z) = 2x y^2 z partialpartial z(x y z^2) = 2x y z
Então,
j: - (2x y^2 z - 2x y z) = -2x y z (y - 1)
Para a componente k:
partialpartial x(x^2 y z^2) = 2x y z^2 partialpartial y(x y z^2) = x z^2
Então,
k: 2x y z^2 - x z^2 = x z^2 (2y - 1)

Passo 6

Assim, o rotacional de F é:
nabla times F = 0 i - 2x y z (y - 1) j + x z^2 (2y - 1) k

Passo 7

Como o rotacional de F não é o vetor nulo (possui componentes diferentes de zero), concluímos que o campo vetorial F não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial F(x, y, z) = x y z^2 i + x^2 y z^2 j + x^2 y^2 z k não é conservativo.

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