Considere as matrizes
tal que
e
. Determine:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente trabalhar com a matriz
de tamanho
, onde os elementos da diagonal principal são
e os demais são
. Queremos calcular a matriz
, que é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e entender como os elementos de
se comportam quando a multiplicamos por ela mesma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a matriz
. Ela é uma matriz
onde:
Isso significa que na diagonal principal (onde o índice da linha é igual ao da coluna), temos
, e em todas as outras posições, temos
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
, ou seja, multiplicar a matriz
por ela mesma. A multiplicação de matrizes segue a regra:
Vamos calcular cada elemento de
. Como
tem uma estrutura simétrica, podemos simplificar os cálculos.
Passo 4
Vamos calcular um elemento genérico
. Sabemos que:
Considerando que
e
podem ser
ou
, dependendo se
ou
.
Vamos observar que para cada
e
:
- Se
, então teremos uma combinação de termos com na diagonal. - Se
, teremos mais termos com .
Passo 5
Após fazer as contas, percebemos que para qualquer
e
:
Isso porque na diagonal principal, estamos somando um
e três vezes
, totalizando
, mas considerando a estrutura específica de
, acabamos com
.
Passo 6
Agora que temos
, vamos multiplicar por
para obter
:
Portanto, cada elemento de
será:
Resposta
A matriz
é dada por: