Considere as matrizes A=[ai j]4 times 4 tal que
ai j=c -1 se i=j 1 se i neq j
e B=2 A^2=[bi j]4 times 4. Determine:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente trabalhar com a matriz de tamanho , onde os elementos da diagonal principal são e os demais são . Queremos calcular a matriz , que é igual a . Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e entender como os elementos de se comportam quando a multiplicamos por ela mesma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a matriz aij = -1 & se i = j 1 & se i neq j . Ela é uma matriz onde:
Isso significa que na diagonal principal (onde o índice da linha é igual ao da coluna), temos , e em todas as outras posições, temos .

Passo 3

Agora, vamos calcular (A cdot A)ij = sumk=1^4 aik cdot akj , ou seja, multiplicar a matriz por ela mesma. A multiplicação de matrizes segue a regra:
Vamos calcular cada elemento de . Como tem uma estrutura simétrica, podemos simplificar os cálculos.

Passo 4

Vamos calcular um elemento genérico (A^2)ij = sumk=1^4 aik cdot akj . Sabemos que:
Considerando que e podem ser ou , dependendo se ou .
Vamos observar que para cada e :
  • Se , então teremos uma combinação de termos com na diagonal.
  • Se , teremos mais termos com .

Passo 5

Após fazer as contas, percebemos que para qualquer (A^2)ij = 3 & se i = j 1 & se i neq j e :
Isso porque na diagonal principal, estamos somando um e três vezes , totalizando , mas considerando a estrutura específica de , acabamos com .

Passo 6

Agora que temos B = 2A^2 , vamos multiplicar por bij = 6 & se i = j 2 & se i neq j para obter :
Portanto, cada elemento de será:

Resposta

A matriz B = 6 & 2 & 2 & 2 2 & 6 & 2 & 2 2 & 2 & 6 & 2 2 & 2 & 2 & 6 é dada por:

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