Considere a matriz quadrada Ax=[cccx-1 & 0 & -1 0 & x-1 & -1 -1 & -1 & x-2].
(a) Determine a matriz escalonada reduzida linha equivalente a matriz Ax, para x=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz quadrada e pede para encontrar a matriz escalonada reduzida (ou seja, a forma mais simplificada da matriz usando operações de linha) equivalente a quando . Para resolver isso, vamos precisar entender operações elementares de linha e escalonamento de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir A3 = 3-1 & 0 & -1 0 & 3-1 & -1 -1 & -1 & 3-2 = 2 & 0 & -1 0 & 2 & -1 -1 & -1 & 1 na matriz :

Passo 3

Agora, o objetivo é transformar essa matriz na matriz escalonada reduzida usando operações de linha. As operações que podemos fazer são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha para outra linha.
Vamos seguir esses passos para simplificar a matriz.

Passo 4

Vamos começar pela primeira coluna. Queremos que o primeiro elemento (chamado de pivô) seja 1. Atualmente, temos 2 na posição (1,1). Para isso, vamos dividir a primeira linha por 2:
R1 = 12 R1 Rightarrow 1 & 0 & -12 0 & 2 & -1 -1 & -1 & 1

Passo 5

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna. Temos -1 na posição (3,1). Para eliminar isso, adicionamos a primeira linha à terceira linha:
R3 = R3 + R1 Rightarrow 1 & 0 & -12 0 & 2 & -1 0 & -1 & 12

Passo 6

Passamos para a segunda coluna. Queremos que o elemento (2,2) seja 1. Atualmente, é 2. Então, dividimos a segunda linha por 2:
R2 = 12 R2 Rightarrow 1 & 0 & -12 0 & 1 & -12 0 & -1 & 12

Passo 7

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna, que é -1 na posição (3,2). Para isso, adicionamos a segunda linha à terceira linha:
R3 = R3 + R2 Rightarrow 1 & 0 & -12 0 & 1 & -12 0 & 0 & 0

Passo 8

Por fim, ajustamos o elemento acima do pivô na segunda coluna para garantir que a matriz esteja na forma escalonada reduzida. No caso, já está tudo certinho, pois não há mais elementos a ajustar.

Resposta

A matriz escalonada reduzida equivalente a 1 & 0 & -12 0 & 1 & -12 0 & 0 & 0 é:

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