Considere as matrizes
A=[ccc 4 & -1 & 3 3 & 0 & 1 7 & 2 & -4 ] e B=[ccc 2 & 6 & 8 2 & 9 & 12 -1 & -2 & -3 ]
a) Verifique se det(A+B)=det A+det B;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes, a A e a B, e o exercício pede para verificar se o determinante da soma delas, ou seja, det(A + B), é igual à soma dos determinantes individuais, det(A) + det(B). Para isso, vamos precisar saber como somar matrizes e calcular determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos somar as matrizes A e B. A soma de duas matrizes é feita somando elemento por elemento. Então, vamos fazer cada posição de A com a correspondente de B:
A + B = [ccc 4 + 2 & -1 + 6 & 3 + 8 3 + 2 & 0 + 9 & 1 + 12 7 + (-1) & 2 + (-2) & -4 + (-3) ] = [ccc 6 & 5 & 11 5 & 9 & 13 6 & 0 & -7 ]

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz A + B. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(A + B) = 6(9 cdot (-7) - 13 cdot 0) - 5(5 cdot (-7) - 13 cdot 6) + 11(5 cdot 0 - 9 cdot 6)
Fazendo as contas:
= 6(-63 - 0) - 5(-35 - 78) + 11(0 - 54) = 6(-63) - 5(-113) + 11(-54) = -378 + 565 - 594 = -407
Então, det(A + B) = -407.

Passo 4

Vamos agora calcular os determinantes individuais das matrizes A e B.
Primeiro, det(A):
A = [ccc 4 & -1 & 3 3 & 0 & 1 7 & 2 & -4 ]
Usando a regra de Sarrus:
det(A) = 4(0 cdot (-4) - 1 cdot 2) - (-1)(3 cdot (-4) - 1 cdot 7) + 3(3 cdot 2 - 0 cdot 7) = 4(0 + (-2)) - (-1)(-12 - 7) + 3(6 - 0) = 4(-2) - (-1)(-19) + 3(6) = -8 - 19 + 18 = -9
Então, det(A) = -9.
Agora, det(B):
B = [ccc 2 & 6 & 8 2 & 9 & 12 -1 & -2 & -3 ]
Usando a regra de Sarrus:
det(B) = 2(9 cdot (-3) - 12 cdot (-2)) - 6(2 cdot (-3) - 12 cdot (-1)) + 8(2 cdot (-2) - 9 cdot (-1)) = 2(-27 + 24) - 6(-6 + 12) + 8(-4 + 9) = 2(-3) - 6(6) + 8(5) = -6 - 36 + 40 = -2
Então, det(B) = -2.

Passo 5

Agora, vamos somar os determinantes de A e B:
det(A) + det(B) = -9 + (-2) = -11

Resposta

Não, det(A+B) = -407 não é igual a det A + det B = -11.

Exercícios relacionados