Considere as matrizes A=[ll1 & 3 2 & 1] e B=[ll2 & 4 0 & 1] de ordem 2 times 2.
Calcule o determinante das matrizes:
b) 5 A^-1 B^-1

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem duas matrizes, e , cada uma de ordem . A tarefa é calcular o determinante da matriz . Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos determinantes, como determinante de matrizes inversas, determinante de produto de matrizes e como lidamos com escalares multiplicando uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o determinante da matriz A = 1 & 3 2 & 1 . A matriz det(A) = ad - bc é:
det(A) = (1)(1) - (3)(2) = 1 - 6 = -5
Para calcular o determinante de uma matriz , usamos a fórmula:
onde são os elementos da matriz . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz B = 2 & 4 0 & 1 . A matriz det(B) = (2)(1) - (4)(0) = 2 - 0 = 2 é:
Usando a mesma fórmula:

Passo 4

Sabemos que o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original. Ou seja:
det(A^-1) = 1det(A) = 1-5 = -15

Passo 5

Da mesma forma, calculamos o determinante de det(B^-1) = 1det(B) = 12 :

Passo 6

Agora, queremos encontrar o determinante do produto das inversas det(A^-1 B^-1) = det(A^-1) times det(B^-1) = (-15) times (12) = -110 . Uma propriedade dos determinantes diz que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas:

Passo 7

Por fim, temos um escalar multiplicando a matriz det(5 A^-1 B^-1) = 5^2 times det(A^-1 B^-1) = 25 times (-110) = -2510 = -2,5 , que é o número 5. Quando um escalar multiplica uma matriz , o determinante da nova matriz é vezes o determinante da matriz original. Como nossas matrizes são :

Resposta

O determinante de é .

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