O plano pi 1 tem equação 4 x-y+5 z=2. Para cada um dos planos pi determine se pi 1 e pi são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois.
© pi: 4 x+6 y-2 z=0

Passo 1

Resumo do Problema e Conceitos Necessários
Estamos analisando dois planos no espaço tridimensional:
  • Plano pi1: 4x - y + 5z = 2
  • Plano pi: 4x + 6y - 2z = 0
Queremos determinar se esses planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois.
Conteúdo da Matéria:
Para resolver isso, precisamos entender vetores normais e como comparar esses vetores para verificar a relação entre os planos.

Passo 2

Entendendo Vetores Normais
Cada plano no espaço pode ser representado por uma equação do tipo Ax + By + Cz = D. Os coeficientes A, B e C formam o vetor normal ao plano, que é um vetor perpendicular ao plano.
  • Para pi1: O vetor normal é N1 = [4, -1, 5]
  • Para pi: O vetor normal é N2 = [4, 6, -2]

Passo 3

Verificando se os Planos São Paralelos
Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais, ou seja, se existe um número real k tal que N2 = k N1.
Vamos verificar:
4 = 4k 6 = -1k -2 = 5k
Da primeira equação, k = 1. Substituindo na segunda: 6 = -1 times 1 6 = -1, o que não é verdadeiro. Portanto, não existe um k que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Conclusão: Os planos não são paralelos.

Passo 4

Verificando se os Planos São Perpendiculares
Dois planos são perpendiculares se seus vetores normais são perpendiculares, ou seja, se o produto escalar entre eles é igual a zero.
O produto escalar é calculado assim:
N1 cdot N2 = (4)(4) + (-1)(6) + (5)(-2)
Calculando:
16 - 6 - 10 = 0
Como o produto escalar é zero, os vetores normais são perpendiculares.
Conclusão: Os planos são perpendiculares.

Resposta

Os planos pi1 e pi são perpendiculares.

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