Sabendo que , calcule os determinantes das seguintes matrizes.
c) |cccc6 & -9 & 24 & 33 7 & 6 & 2 & 2 2 & -5 & 10 & 8 7 & 2 & 2 c & -4|=
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz 4x4 e sabe que o determinante dela é -1470. Agora, precisaremos calcular o determinante de uma segunda matriz que é parecida, mas com algumas modificações nos números. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e propriedades de operações com linhas nas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz original e na nova matriz que queremos calcular o determinante:
Matriz original:
2 & -3 & 4 & 11 7 & 6 & 1 & 2 2 & -5 & 5 & 8 a & b & c & d
Vamos identificar as diferenças entre as duas matrizes:
Primeira linha: Cada elemento da primeira linha da nova matriz é 3 vezes o correspondente na primeira linha da matriz original:
(Aqui parece ter um fator diferente, vamos observar)
Notamos que a maioria dos elementos foi multiplicada por 3, exceto o terceiro elemento que foi multiplicado por 6. Isso sugere que houve uma combinação linear ou uma operação mais complexa.
Segunda linha: Apenas o terceiro elemento mudou de 1 para 2, então adicionamos 1 ao terceiro elemento.
Terceira linha: O terceiro elemento foi multiplicado por 2 (de 5 para 10).
Quarta linha: A primeira e a segunda entradas mudaram para 7 e 2, respectivamente, e o terceiro elemento passou de para , e o quarto de para -4.
Passo 4
Para simplificar, vamos aplicar operações de linha que facilitam o cálculo do determinante:
Multiplicação da primeira linha por 3:
Quando multiplicamos uma linha inteira por um número, o determinante é multiplicado por esse número. Então, multiplicando a primeira linha por 3, o determinante passa a ser .
Alteração do terceiro elemento da segunda linha:
Substituir 1 por 2 na segunda linha significa que estamos adicionando 1 ao terceiro elemento. Isso pode ser visto como adicionar uma linha modificada à segunda linha, mas sem modificar o determinante diretamente.
Multiplicação do terceiro elemento da terceira linha por 2:
Isso é equivalente a multiplicar a terceira linha por 2, o que faz com que o determinante seja multiplicado por 2: .
Alterações na quarta linha:
Substituir por 7, por 2, por , e por -4 implica que a quarta linha foi alterada completamente. Se assumirmos que essas alterações equivalem a substituir a quarta linha original por uma nova, precisamos considerar como isso afeta o determinante. Porém, sem informações adicionais sobre , consideramos que essa troca multiplica o determinante por um fator específico, por exemplo, 1.