Considere as matrizes A=[ll1 & 3 2 & 1] e B=[ll2 & 4 0 & 1] de ordem 2 times 2.
Calcule o determinante das matrizes:
a) 3 A^10 B

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes e de ordem , e precisa calcular o determinante de . Para isso, vamos usar propriedades de determinantes, como a do determinante de um produto de matrizes e de uma matriz elevada a uma potência. Vamos precisar lembrar como calcular determinantes de matrizes e aplicar essas propriedades na resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz a & b c & d como é calculado por . Então, vamos calcular os determinantes das matrizes e .

Passo 3

Calculando o determinante de A = 1 & 3 2 & 1 :
det(A) = (1)(1) - (3)(2) = 1 - 6 = -5

Passo 4

Agora, calculando o determinante de B = 2 & 4 0 & 1 :
det(B) = (2)(1) - (4)(0) = 2 - 0 = 2

Passo 5

Lembrando que o determinante de uma matriz multiplicada por um escalar det(3A) = 3^2 det(A) = 9 times (-5) = -45 é dado por , onde é a ordem da matriz. No nosso caso, e a ordem , então:

Passo 6

Agora, vamos usar a propriedade que diz que o determinante do produto de matrizes é o produto dos determinantes:
det(A^10B) = det(A^10) times det(B)
Sabemos que .

Passo 7

Calculando (-5)^10 = 5^10 = 9765625 :
det(A^10B) = 9765625 times 2 = 19531250
Portanto:

Passo 8

Agora, juntando tudo para encontrar det(3A^10B) = det(3A) times det(A^10B) = (-45) times 19531250 = -878906250 :

Resposta

det(3A^10B) = -878,906,250

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