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Responda Falso ou Verdadeiro, Justificando sua resposta.
a) Se A é uma matriz de ordem n e A^t é a matriz transposta de A, então det(A^t A) >= 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de ordem e sua transposta . A afirmação diz que o determinante de é maior ou igual a zero. Para resolver isso, precisamos saber sobre transpostas de matrizes, determinantes e as propriedades de matrizes simétricas e positivas semidefinidas.

Passo 2

Vamos lembrar que a transposta de uma matriz A = a & b c & d então A^t = a & c b & d , denotada por , é obtida trocando as linhas pelas colunas de . Por exemplo, se é uma matriz 2x2:
ã

Passo 3

Agora, consideremos o produto . Esse produto resulta em uma matriz simétrica, ou seja, . Matrizes simétricas têm propriedades especiais, especialmente quando se trata de seus determinantes e valores próprios.

Passo 4

Uma propriedade importante das matrizes do tipo x^t (A^t A) x >= 0 é que elas são positivas semidefinidas. Isso significa que, para qualquer vetor , o produto é sempre maior ou igual a zero:

Passo 5

De fato, como é positiva semidefinida, todos os seus valores próprios são não negativos. O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus valores próprios. Portanto, se todos os valores próprios são maiores ou iguais a zero, o determinante também será maior ou igual a zero.

Resposta

Verdadeiro. O determinante de é sempre maior ou igual a zero.

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