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Responda Falso ou Verdadeiro, Justificando sua resposta.
a) Se
é uma matriz de ordem
e
é a matriz transposta de
, então
.
Responda Falso ou Verdadeiro, Justificando sua resposta.
a) Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz
de ordem
e sua transposta
. A afirmação diz que o determinante de
é maior ou igual a zero. Para resolver isso, precisamos saber sobre transpostas de matrizes, determinantes e as propriedades de matrizes simétricas e positivas semidefinidas.
Passo 2
Vamos lembrar que a transposta de uma matriz
, denotada por
, é obtida trocando as linhas pelas colunas de
. Por exemplo, se
é uma matriz 2x2:
Passo 3
Agora, consideremos o produto
. Esse produto resulta em uma matriz simétrica, ou seja,
. Matrizes simétricas têm propriedades especiais, especialmente quando se trata de seus determinantes e valores próprios.
Passo 4
Uma propriedade importante das matrizes do tipo
é que elas são positivas semidefinidas. Isso significa que, para qualquer vetor
, o produto
é sempre maior ou igual a zero:
Passo 5
De fato, como
é positiva semidefinida, todos os seus valores próprios são não negativos. O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus valores próprios. Portanto, se todos os valores próprios são maiores ou iguais a zero, o determinante também será maior ou igual a zero.
Resposta
Verdadeiro. O determinante de
é sempre maior ou igual a zero.