Considere o microssistema abaixo formado por duas pequenas peças metálicas, I e II, presas em duas paredes laterais. Observamos que, na temperatura de 15 °C, a peça I tem tamanho igual a 2 cm, enquanto a peça II possui apenas 1 cm de comprimento. Ainda nesta temperatura as peças estavam afastadas apenas por uma pequena distância d igual a 5 x 10^3 cm. Sabendo-se que o coeficiente de dilatação linear αI da peça I é igual a 3 x 10^5 °C_1 e que o da peça II (αII) é igual a 4 x10^5°C_1, qual deve ser a temperatura do sistema, em °C, para que as duas peças entrem em contato sem empenar?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve dilatação linear, que faz parte da física sobre como materiais se expandem quando a temperatura aumenta. No nosso caso, temos duas peças metálicas, I e II, presas em paredes diferentes. A peça I mede 2 cm e a II, 1 cm, e elas estão separadas por 5000 cm a 15 °C. Sabemos também os coeficientes de dilatação dessas peças. Nosso objetivo é descobrir qual a temperatura que o sistema precisa atingir para que as duas peças se toquem sem dobrar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é dilatação linear. Quando um material é aquecido, ele tende a aumentar de tamanho. A quantidade que ele aumenta depende do seu coeficiente de dilatação linear (α), do seu comprimento original (L) e da variação de temperatura (ΔT). A fórmula para calcular essa expansão é:
Onde:
-
é o aumento de comprimento, -
é o coeficiente de dilatação, -
é o comprimento original, -
é a variação de temperatura.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para cada peça. Queremos que a soma das dilatações das duas peças seja igual à distância inicial entre elas, ou seja, 5000 cm. Então, temos:
Substituindo a fórmula da dilatação:
Passo 4
Agora, vamos isolar
na equação. Primeiro, fatoramos
:
Então, para encontrar
:
Passo 5
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Substituindo:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 6
Finalmente, para encontrar a temperatura final do sistema, somamos a variação de temperatura à temperatura inicial:
Resposta
A temperatura do sistema precisa ser 15,005 °C para que as duas peças entrem em contato sem empenar.