Considere o microssistema abaixo formado por duas pequenas peças metálicas, I e II, presas em duas paredes laterais. Observamos que, na temperatura de 15 °C, a peça I tem tamanho igual a 2 cm, enquanto a peça II possui apenas 1 cm de comprimento. Ainda nesta temperatura as peças estavam afastadas apenas por uma pequena distância d igual a 5 x 10^3 cm. Sabendo-se que o coeficiente de dilatação linear αI da peça I é igual a 3 x 10^5 °C_1 e que o da peça II (αII) é igual a 4 x10^5°C_1, qual deve ser a temperatura do sistema, em °C, para que as duas peças entrem em contato sem empenar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve dilatação linear, que faz parte da física sobre como materiais se expandem quando a temperatura aumenta. No nosso caso, temos duas peças metálicas, I e II, presas em paredes diferentes. A peça I mede 2 cm e a II, 1 cm, e elas estão separadas por 5000 cm a 15 °C. Sabemos também os coeficientes de dilatação dessas peças. Nosso objetivo é descobrir qual a temperatura que o sistema precisa atingir para que as duas peças se toquem sem dobrar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é dilatação linear. Quando um material é aquecido, ele tende a aumentar de tamanho. A quantidade que ele aumenta depende do seu coeficiente de dilatação linear (α), do seu comprimento original (L) e da variação de temperatura (ΔT). A fórmula para calcular essa expansão é:
De
Onde:
  • De é o aumento de comprimento,
  • alpha é o coeficiente de dilatação,
  • L é o comprimento original,
  • De é a variação de temperatura.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para cada peça. Queremos que a soma das dilatações das duas peças seja igual à distância inicial entre elas, ou seja, 5000 cm. Então, temos:
De
Substituindo a fórmula da dilatação:
alphaI times LI times De

Passo 4

Agora, vamos isolar De na equação. Primeiro, fatoramos De:
De
Então, para encontrar De:
De

Passo 5

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
  • d = 5 times 10^3 , cm
  • alphaI = 3 times 10^5 , ^circC^-1
  • LI = 2 , cm
  • alphaII = 4 times 10^5 , ^circC^-1
  • LII = 1 , cm
Substituindo:
De
Calculando o denominador:
(3 times 10^5 times 2) + (4 times 10^5 times 1) = 6 times 10^5 + 4 times 10^5 = 10 times 10^5 = 1 times 10^6
Então:
De

Passo 6

Finalmente, para encontrar a temperatura final do sistema, somamos a variação de temperatura à temperatura inicial:
Tfinal = 15 , ^circC + 5 times 10^-3 , ^circC = 15,005 , ^circC

Resposta

A temperatura do sistema precisa ser 15,005 °C para que as duas peças entrem em contato sem empenar.

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