Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade de 6 km/h em um curso de 105° em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto?
a) 10 km.
b) 14 km.
c) 15 km.
d) 17 km.
e) 22 km.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois navios que saem do mesmo porto ao mesmo tempo, mas seguem direções e velocidades diferentes. A gente vai usar trigonometria e noções de vetores para descobrir a distância entre eles após uma hora. Precisamos saber as velocidades, os ângulos das rotas e aplicar alguns cálculos para achar essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as direções dos navios. O primeiro navio vai a 16 km/h em um ângulo de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo navio vai a 6 km/h em um ângulo de 105° em relação ao norte, também no sentido horário.

Passo 3

Como a viagem dura uma hora, a distância que cada navio percorreu é igual à sua velocidade multiplicada pelo tempo. Então:
  • Primeiro navio: $ 16 km/h \times 1 h = 16 km $
  • Segundo navio: $ 6 km/h \times 1 h = 6 km $

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o ângulo entre as direções dos dois navios. Como o primeiro navio vai a 45° e o segundo a 105°, a diferença entre eles é:
105° - 45° = 60°
Portanto, o ângulo entre as duas trajetórias é de 60°.

Passo 5

Para encontrar a distância entre os navios, vamos usar a Lei dos Cossenos, que é ótima para encontrar o lado de um triângulo quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles. A fórmula é:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(gamma)
Onde:
- $ a = 16 km $ (distância do primeiro navio)
- $ b = 6 km $ (distância do segundo navio)
- $ \gamma = 60° $ (ângulo entre as trajetoiras)

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
c^2 = 16^2 + 6^2 - 2 times 16 times 6 times cos(60°)
Calculando:
c^2 = 256 + 36 - 192 times 0,5
c^2 = 292 - 96
c^2 = 196

Passo 7

Agora, tiramos a raiz quadrada para achar $ c $:
c
c = raiz196

Resposta

A distância entre os navios após uma hora de viagem é 14 km. Portanto, a alternativa correta é a b) 14 km.

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