Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade de 6 km/h em um curso de 105° em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto?
a) 10 km.
b) 14 km.
c) 15 km.
d) 17 km.
e) 22 km.
a) 10 km.
b) 14 km.
c) 15 km.
d) 17 km.
e) 22 km.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois navios que saem do mesmo porto ao mesmo tempo, mas seguem direções e velocidades diferentes. A gente vai usar trigonometria e noções de vetores para descobrir a distância entre eles após uma hora. Precisamos saber as velocidades, os ângulos das rotas e aplicar alguns cálculos para achar essa distância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as direções dos navios. O primeiro navio vai a 16 km/h em um ângulo de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo navio vai a 6 km/h em um ângulo de 105° em relação ao norte, também no sentido horário.
Passo 3
Como a viagem dura uma hora, a distância que cada navio percorreu é igual à sua velocidade multiplicada pelo tempo. Então:
- Primeiro navio: $ 16 km/h \times 1 h = 16 km $
- Segundo navio: $ 6 km/h \times 1 h = 6 km $
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o ângulo entre as direções dos dois navios. Como o primeiro navio vai a 45° e o segundo a 105°, a diferença entre eles é:
Portanto, o ângulo entre as duas trajetórias é de 60°.
Passo 5
Para encontrar a distância entre os navios, vamos usar a Lei dos Cossenos, que é ótima para encontrar o lado de um triângulo quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles. A fórmula é:
Onde:
- $ a = 16 km $ (distância do primeiro navio)
- $ b = 6 km $ (distância do segundo navio)
- $ \gamma = 60° $ (ângulo entre as trajetoiras)
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Calculando:
Passo 7
Agora, tiramos a raiz quadrada para achar $ c $:
Resposta
A distância entre os navios após uma hora de viagem é 14 km. Portanto, a alternativa correta é a b) 14 km.