Considere A=x in N mid 5 <= x^2 <= 300, B=x in N mid 1 <= 3 x-2 <= 30. Calcule:
(i) A cup B
(ii) A cap B
(iii) A-B
(iv) B-A
(v) A cap B
(vi) A cup B

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcularmos algumas operações entre dois conjuntos de números naturais, e . O conteúdo envolve conjuntos e operações com conjuntos, como união e interseção. Para resolver, vamos precisar entender como determinar os elementos de e com base nas condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos do conjunto A = x in N mid 5 <= x^2 <= 300 . é definido como:
Isso significa que inclui todos os números naturais cujo quadrado está entre 5 e 300. Vamos encontrar esses .

Passo 3

Vamos resolver a inequação x >= raiz5 approx 2.24 para encontrar os valores de x <= raiz300 approx 17.32 .
  • Primeiro, resolvemos :
Como é natural, o menor valor é 3.
  • Depois, resolvemos :
Assim, o maior valor de é 17.
Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos identificar os elementos do conjunto B = x in N mid 1 <= 3x - 2 <= 30 . é definido como:
Isso significa que inclui todos os números naturais para os quais está entre 1 e 30. Vamos encontrar esses .

Passo 5

Resolvemos a inequação 3x >= 3 implies x >= 1 :
  • Primeiramente, resolvemos 3x <= 32 implies x <= 323 approx 10.66 :
  • Em seguida, resolvemos :
Como é natural, o maior valor é 10.
Portanto, .

Passo 6

Agora que temos os conjuntos A cup B = 1, 2, 3, 4, 5, ldots, 17 e A cap B = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , vamos calcular as operações solicitadas:

(i) A - B = 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 (União de A e B)

A união de dois conjuntos inclui todos os elementos que estão em B - A = 1, 2 , em A cap B = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , ou em ambos. Então:
A cup B = 1, 2, 3, 4, 5, ldots, 17

(ii) (Interseção de A e B)

A interseção inclui apenas os elementos que estão em ambos os conjuntos. Observando e :

(iii) (Diferença entre A e B)

A diferença inclui os elementos que estão em mas não em :

(iv) (Diferença entre B e A)

A diferença inclui os elementos que estão em mas não em :

(v) (Interseção de A e B)

Já calculamos anteriormente:

(vi) (União de A e B)

Também já calculamos:

Resposta

(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)

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