Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que o conjunto
está contido em
se e somente se a diferença entre
e
for o conjunto vazio. Isso está dentro do conteúdo de Teoria dos Conjuntos, especificamente sobre subconjuntos e diferença de conjuntos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser subconjunto de outro e o que é a diferença entre dois conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que todo elemento de
também é um elemento de
. Em outras palavras, se pegarmos qualquer coisa que esteja em
, ela também vai estar em
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é
. A diferença entre
e
, representada por
, é o conjunto formado por todos os elementos que estão em
mas não estão em
. Então, se
é o conjunto vazio (
), isso significa que não existe nenhum elemento em
que não esteja em
.
Passo 4
Vamos provar a primeira direção: se
, então
.
- Se todo elemento de
está em , então não tem nenhum elemento em que não esteja em . - Logo, não há elementos na diferença
, ou seja, .
Passo 5
Agora, a outra direção: se
, então
.
- Se a diferença
é vazia, isso significa que não existe nenhum elemento em que não esteja em . - Portanto, todo elemento de
deve estar em , o que significa que é um subconjunto de .
Resposta
Assim, mostramos que
se e somente se
.
Exercícios relacionados
Escreva os seguintes conjuntos explicitando seus elementos:
(i)
(ii) ou
(iii)
(iv)
(EXTRA)
(EXTRA)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(EXTRA)
(EXTRA)
Calcule e interprete as medidas de tendência central.
Considere
. Calcule:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Use a propriedade distributiva da interseção em relação a união de conjuntos para provar que