Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que o conjunto está contido em se e somente se a diferença entre e for o conjunto vazio. Isso está dentro do conteúdo de Teoria dos Conjuntos, especificamente sobre subconjuntos e diferença de conjuntos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser subconjunto de outro e o que é a diferença entre dois conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que todo elemento de também é um elemento de . Em outras palavras, se pegarmos qualquer coisa que esteja em , ela também vai estar em .

Passo 3

Agora, vamos ver o que é . A diferença entre e , representada por , é o conjunto formado por todos os elementos que estão em mas não estão em . Então, se é o conjunto vazio ( ), isso significa que não existe nenhum elemento em que não esteja em .

Passo 4

Vamos provar a primeira direção: se , então .
  • Se todo elemento de está em , então não tem nenhum elemento em que não esteja em .
  • Logo, não há elementos na diferença , ou seja, .

Passo 5

Agora, a outra direção: se , então .
  • Se a diferença é vazia, isso significa que não existe nenhum elemento em que não esteja em .
  • Portanto, todo elemento de deve estar em , o que significa que é um subconjunto de .

Resposta

Assim, mostramos que se e somente se .

Exercícios relacionados

Escreva os seguintes conjuntos explicitando seus elementos:
(i)
(ii) ou
(iii)
(iv)
(EXTRA)
(EXTRA)
Calcule e interprete as medidas de tendência central.
Considere . Calcule:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Use a propriedade distributiva da interseção em relação a união de conjuntos para provar que