Use a propriedade distributiva da interseção em relação a união de conjuntos para provar que
Passo 1
Vamos resolver um problema de teoria dos conjuntos, especificamente usando a propriedade distributiva da interseção em relação à união. Precisamos provar que
. Para isso, vamos usar as definições básicas de união e interseção de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a interseção e a união de conjuntos:
- Interseção (
): contém todos os elementos que estão em ambos os conjuntos e . - União (
): contém todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos ou .
Passo 3
Agora, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
.
Isso significa que estamos unindo todos os elementos que estão em ambos
e
com todos os elementos que estão em
.
Passo 4
Observando isso, percebemos que todos os elementos de
já estão em
. Então, quando unimos
com
, na verdade, não estamos adicionando nada de novo, porque
já contém todos os elementos de
.
Passo 5
Portanto,
é equivalente a apenas
.
Passo 6
Agora, vamos olhar para o lado direito da igualdade:
.
Isso significa que estamos unindo todos os elementos que estão em
, em
, ou em ambos.
Passo 7
Comparando os dois lados:
-
-
contém todos os elementos de e de
Se considerarmos que
já inclui todos os elementos de
, então
e
acabam sendo o mesmo conjunto.
Resposta
Exercícios relacionados
Considere
. Calcule:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Mostre que
Mostre que
Determine quais dos seguintes conjuntos são iguais: