Use a propriedade distributiva da interseção em relação a união de conjuntos para provar que

Passo 1

Vamos resolver um problema de teoria dos conjuntos, especificamente usando a propriedade distributiva da interseção em relação à união. Precisamos provar que . Para isso, vamos usar as definições básicas de união e interseção de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a interseção e a união de conjuntos:
  • Interseção ( ): contém todos os elementos que estão em ambos os conjuntos e .
  • União ( ): contém todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos ou .

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade que queremos provar: .
Isso significa que estamos unindo todos os elementos que estão em ambos e com todos os elementos que estão em .

Passo 4

Observando isso, percebemos que todos os elementos de já estão em . Então, quando unimos com , na verdade, não estamos adicionando nada de novo, porque já contém todos os elementos de .

Passo 5

Portanto, é equivalente a apenas .

Passo 6

Agora, vamos olhar para o lado direito da igualdade: .
Isso significa que estamos unindo todos os elementos que estão em , em , ou em ambos.

Passo 7

Comparando os dois lados:
  • contém todos os elementos de e de
Se considerarmos que já inclui todos os elementos de , então e acabam sendo o mesmo conjunto.

Resposta

Exercícios relacionados

Considere . Calcule:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Mostre que
Mostre que
Determine quais dos seguintes conjuntos são iguais: