Considere o modelo clássico simplificado (unidimensional) para o efeito fotoelétrico, onde o elétron está preso ao núcleo por uma força elástica com constante elástica k. Uma onda eletromagnética com frequência (angular) omega incide sobre o elétron, fazendo com que este oscile (despreze forças dissipativas).
b) Mostre que x(t)=x0 cos (omega t) satisfaz a equação diferencial obtida no item anterior, onde x(t) representa a trajetória do elétron. Determine o valor de x0 em função de E0, k, omega e me, onde me é a massa do elétron.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o efeito fotoelétrico usando um modelo simplificado onde o elétron está preso ao núcleo por uma força elástica com constante k. Quando uma onda eletromagnética com frequência angular omega incide sobre o elétron, ele começa a oscilar. Nosso objetivo aqui é mostrar que a trajetória do elétron pode ser representada por x(t) = x0 cos(omega t) e encontrar o valor de x0 em função de E0, k, omega e me. Para resolver isso, vamos usar a segunda lei de Newton aplicada ao movimento oscilatório e resolver uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de movimento do elétron. A força total atuando no elétron vem da força elástica e da força exercida pelo campo elétrico da onda eletromagnética. A força elástica é dada por Felástica = -k x(t)á, onde x(t) é a posição do elétron. A força devido ao campo elétrico é Felétrica = e E0 cos(omega t)é, onde e é a carga do elétron.
Aplicando a segunda lei de Newton, temos:
me d^2x(t)dt^2 = -k x(t) + e E0 cos(omega t)
Essa é a equação diferencial que precisamos resolver.

Passo 3

Vamos assumir que a solução para x(t) tem a forma x(t) = x0 cos(omega t). Para verificar se essa função satisfaz a equação diferencial, vamos calcular as derivadas necessárias.
Primeira derivada de x(t):
dx(t)dt = -x0 omega sin(omega t)
Segunda derivada de x(t):
d^2x(t)dt^2 = -x0 omega^2 cos(omega t)
Agora, substituímos x(t) e suas derivadas na equação de movimento:
me ( -x0 omega^2 cos(omega t) ) = -k x0 cos(omega t) + e E0 cos(omega t)
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por cos(omega t) (desde que cos(omega t) neq 0):
- me omega^2 x0 = -k x0 + e E0
Vamos rearranjar os termos para isolar x0:
(- me omega^2 + k) x0 = e E0
Então,
x0 = e E0k - me omega^2

Resposta

A amplitude da oscilação do elétron é dada por
x0 = e E0k - me omega^2

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