Considere 1,0 mol de gás ideal sob a pressão de
, a
. Calcular o w e
para as mudanças de estado a seguir, sendo
.
(a) O gás sofre uma expansão adiabática irreversível até uma pressão final de 1 atm .
(a) O gás sofre uma expansão adiabática irreversível até uma pressão final de 1 atm .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem 1,0 mol de um gás ideal sob uma pressão inicial de
e temperatura de
. Precisamos calcular o trabalho
e a variação de energia interna
quando o gás expande de forma adiabática e irreversível até uma pressão final de
. Para isso, vamos usar a capacidade térmica a volume constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma expansão adiabática irreversível. “Adiabática” quer dizer que não há troca de calor com o ambiente (
), e “irreversível” indica que o processo não segue uma trajetória reversível, o que complica um pouco as coisas. Mas, para simplificar, vamos focar na relação entre a variação de energia interna e o trabalho realizado.
Passo 3
Sabemos que, para qualquer processo, a variação de energia interna
é dada pela primeira lei da termodinâmica:
Como o processo é adiabático,
, então:
Ou seja, a variação da energia interna é igual ao trabalho realizado pelo sistema.
Passo 4
Para gases ideais, a variação de energia interna também está relacionada à variação de temperatura:
Onde:
-
é o número de mols, -
é a capacidade térmica a volume constante, -
é a variação de temperatura.
Passo 5
Vamos calcular a variação de temperatura
. Primeiro, precisamos encontrar a temperatura final
. Para isso, vamos usar a equação dos gases ideais:
Como o volume não é diretamente fornecido e o processo é irreversível, podemos relacionar as pressões e temperaturas iniciais e finais considerando que, para um processo adiabático, a energia interna depende apenas da temperatura.
Passo 6
Considerando que
e
, podemos igualar as duas expressões:
Queremos encontrar
e
, mas precisamos da variação de temperatura
.
Passo 7
Vamos calcular a temperatura inicial em Kelvin:
Como o processo é adiabático, mas irreversível, sem mais informações sobre o volume, assumimos que a variação de temperatura pode ser calculada a partir das pressões iniciais e finais.
Passo 8
Para processos adiabáticos reversíveis, usamos
, mas como é irreversível, não podemos aplicar diretamente. Entretanto, para a variação de energia interna em gases ideais,
ainda depende apenas de
, então podemos utilizar:
Onde
e
.
Passo 9
Calculando a temperatura final
:
Passo 10
Agora, calculamos a variação de temperatura
:
O valor negativo indica que a temperatura diminuiu.
Passo 11
Usando
:
Sabendo que
, mas para consistência com unidades de energia, podemos usar
:
Resposta
O trabalho realizado pelo gás é
e a variação de energia interna é
.