Considere o motor de indução com os seguintes dados:
& 2250 hp ; 2300 V ; 1786 rpm ; 60 Hz ; J=63,87 kg cdot m^2 & r1=0,029 Omega ; X1=X2=0,226 Omega ; Xm=13,04 Omega ; r2=0,022 Omega
O motor trifásico de indução acima é conectado em Y e opera em regime permanente nominal. A carga é do tipo quadrática TL=k omega^2 Nm, sendo TL=T nom para omega=omega nom . A partir do circuito equivalente do motor de indução e para esse ponto de operação:
calcular o rendimento do motor.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um motor de indução trifásico conectado em Y, com vários valores elétricos e mecânicos especificados. O objetivo é calcular o rendimento desse motor quando ele está operando em regime permanente com uma carga que depende do quadrado da velocidade. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de circuitos equivalentes de motores, cálculo de potências e eficiência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a eficiência ( eta) de um motor é a relação entre a potência de saída útil ( Pout) e a potência de entrada total ( Pin). Ou seja:
eta = PoutPin
Para encontrar essas potências, precisamos analisar o circuito equivalente do motor e levar em conta as perdas internas.

Passo 3

Vamos converter as unidades do cavalo-vapor (hp) para watts, já que o SI usa watts. Sabemos que:
1, hp = 745,7, W
Então, a potência nominal do motor é:
Pnome = 2250, hp times 745,7, W/hp = 1.679.325, W

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade síncrona ( Ns) do motor, que é a velocidade teórica sem deslizamento. A fórmula para Ns em rpm é:
Ns = 120 times fp
Onde f é a frequência (60 Hz) e p é o número de pólos. Mas como não temos p, vamos usar a relação fornecida na questão para encontrar o deslizamento e continuar.

Passo 5

A velocidade real ( N) do motor é dada como 1786 rpm. O deslizamento ( s) pode ser calculado por:
s = Ns - NNs
Reorganizando para encontrar Ns:
Ns = 120 times fp implies p = 120 times fNs
Sem p, precisamos de mais informações ou assumir um valor típico, mas vamos prosseguir com os dados disponíveis.

Passo 6

Vamos calcular a potência mecânica de saída ( Pout) usando a fórmula da potência em motores:
Pout = T times omega
Onde T é o torque e omega é a velocidade angular. Sabemos que a carga é quadrática:
TL = k omega^2
E para omega = omeganom, TL = Tnom.

Passo 7

Precisamos relacionar a potência elétrica de entrada ( Pin) com a potência mecânica de saída e as perdas internas. A potência de entrada é:
Pin = raiz3 times V times I times cosphi
Onde V é a tensão, I é a corrente e cosphi é o fator de potência. Porém, sem a corrente, vamos usar o circuito equivalente para encontrar as perdas.

Passo 8

No circuito equivalente, consideramos as resistências e reatâncias fornecidas:
  • R1 = 0,029, Omega
  • X1 = X2 = 0,226, Omega
  • Xm = 13,04, Omega
  • R2 = 0,022, Omega
Podemos calcular a impedância total e a corrente para encontrar as perdas por resistência (copper losses).

Passo 9

Calculando a impedância do circuito equivalente ( Z):
Z = raiz(R1 + R2)^2 + (X1 + X2 + Xm)^2
Substituindo os valores:
Z = raiz(0,029 + 0,022)^2 + (0,226 + 0,226 + 13,04)^2 approx 13,30, Omega

Passo 10

Agora, a corrente ( I) pode ser encontrada pela Lei de Ohm:
I = VZ = 230013,30 approx 173,68, A

Passo 11

Calculamos as perdas por resistência:
Pperda = 3 times I^2 times R
Usando R = R1 + R2 = 0,029 + 0,022 = 0,051, Omega:
Pperda = 3 times (173,68)^2 times 0,051 approx 1.536, kW

Passo 12

Finalmente, a potência de saída é a potência de entrada menos as perdas:
Pout = Pin - Pperda
Considerando Pin = 1.679.325, W e Pperda = 1.536.000, W:
Pout = 1.679.325 - 1.536.000 = 143.325, W

Resposta

O rendimento do motor é aproximadamente 8,5%.

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