Considere o movimento livre de uma partícula quântica de massa
restrita a um círculo de raio
. Encontre as autofunções e os autovalores de energia. Dica: use coordenadas esféricas projetadas no plano xy, ou seja pode usar a matemática do átomo de Hidrogênio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar as autofunções e os autovalores de energia de uma partícula quântica de massa
que está restrita a se mover em um círculo de raio
. O conteúdo aqui envolve mecânica quântica e, mais especificamente, o estudo de partículas em restrições espaciais, como o movimento em um círculo. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas angulares e entender como a quantização da energia funciona nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sistema: a partícula está se movendo livremente em um círculo, o que significa que sua posição pode ser descrita apenas por um ângulo
no plano
. Nesse caso, usamos coordenadas polares, pois simplificam a descrição do movimento circular.
Passo 3
A função de onda da partícula, que nos dá a probabilidade de encontrá-la em uma determinada posição, depende apenas do ângulo
. Então, escrevemos a função de onda como
. Para encontrar as autofunções, precisamos resolver a equação de Schrodinger dependente do tempo para esse sistema.
Passo 4
A equação de Schrodinger para uma partícula em uma dimensão angular é:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é o raio do círculo, e
é a energia da partícula. Essa é uma equação diferencial que precisamos resolver para
e
.
Passo 5
As soluções dessa equação são funções exponenciais complexas que se repetem a cada
, garantindo que a função de onda seja periódica no círculo. Portanto, as autofunções são:
onde
é um número inteiro (positivo ou negativo), representando o número quântico angular.
Resposta
As autofunções são
com
inteiro, e os autovalores de energia são
.
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