Considere o movimento livre de uma partícula quântica de massa restrita a um círculo de raio . Encontre as autofunções e os autovalores de energia. Dica: use coordenadas esféricas projetadas no plano xy, ou seja pode usar a matemática do átomo de Hidrogênio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar as autofunções e os autovalores de energia de uma partícula quântica de massa que está restrita a se mover em um círculo de raio . O conteúdo aqui envolve mecânica quântica e, mais especificamente, o estudo de partículas em restrições espaciais, como o movimento em um círculo. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas angulares e entender como a quantização da energia funciona nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sistema: a partícula está se movendo livremente em um círculo, o que significa que sua posição pode ser descrita apenas por um ângulo no plano . Nesse caso, usamos coordenadas polares, pois simplificam a descrição do movimento circular.

Passo 3

A função de onda da partícula, que nos dá a probabilidade de encontrá-la em uma determinada posição, depende apenas do ângulo . Então, escrevemos a função de onda como . Para encontrar as autofunções, precisamos resolver a equação de Schrodinger dependente do tempo para esse sistema.

Passo 4

A equação de Schrodinger para uma partícula em uma dimensão angular é:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é o raio do círculo, e é a energia da partícula. Essa é uma equação diferencial que precisamos resolver para e .

Passo 5

As soluções dessa equação são funções exponenciais complexas que se repetem a cada , garantindo que a função de onda seja periódica no círculo. Portanto, as autofunções são:
onde é um número inteiro (positivo ou negativo), representando o número quântico angular.

Resposta

As autofunções são com inteiro, e os autovalores de energia são .

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