Uma particula quântica esta confinada num poço de potencial infinito e unidimensional, entre
. Para
a função de onda do sistema é:
, onde
e
são constates de normalização.
(a) Encontre a função de onda para o tempo
.
(a) Encontre a função de onda para o tempo
Passo 1
Então, galera, vamos lá! A gente tem uma partícula quântica presa num poço de potencial infinito, que basicamente significa que ela não pode escapar desse intervalo
. No instante inicial,
, a função de onda da partícula é uma combinação de duas funções seno com diferentes frequências, ponderadas pelas constantes
e
. Nosso objetivo aqui é descobrir como essa função de onda evolui com o tempo, ou seja, encontrar
.
Pra resolver isso, vamos precisar usar o conceito de funções de onda estacionárias e como elas evoluem no tempo segundo a mecânica quântica. Também vamos precisar normalizar a função de onda, mas, como os coeficientes
e
já são constantes de normalização, podemos focar na evolução temporal.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que, num poço de potencial infinito, as funções de onda estacionárias são dadas por senos com múltiplos inteiros do número
sobre
. Ou seja, as soluções estacionárias são da forma:
onde
é um número inteiro positivo. Essas funções são chamadas de autofunções e cada uma corresponde a um autovalor de energia específico, que é:
Passo 3
Agora, nossa função de onda inicial é uma combinação dessas autofunções:
Aqui,
e
são os coeficientes que dizem o quanto cada estado estacionário contribui na função de onda inicial. Como essas funções são ortonormais, a condição de normalização exige que:
Isso garante que a probabilidade total de encontrar a partícula no poço seja 1.
Passo 4
Para encontrar a evolução temporal da função de onda, usamos a equação de Schrödinger dependente do tempo para cada autofunção:
Isso significa que cada componente da função de onda inicial vai oscilar no tempo com uma fase que depende da sua energia. Substituindo os valores de
, temos:
Passo 5
Finalmente, combinamos as evoluções temporais de cada componente para obter a função de onda completa no tempo
:
Simplificando os expoentes, temos:
Resposta
A função de onda para o tempo
é:
Exercícios relacionados
Inicialmente, 2, 3 mols de Gás Perfeito, diatômico, estiveram sob pressão de
e a temperatura de
. Ele foi aquecido até
e expande se adiabaticamente até a pressão de
. Finalmente, esta amostra de gás é resfriada isobaricamente e retorna ao estado inicial. Determine: © a eficiência térmica deste ciclo;
A função de onda de uma partícula de massa
movendo-se em um potencial
é
, onde
e
são constantes. Encontre a forma explícita do potencial
.
Quanto trabalho será necessário para comprimir
do gás
, inicialmente, sob pressão de
, a volume de
e na temperatura de 373 K para o volume de
em um processo: (b) adiabático?
Considere o movimento livre de uma partícula quântica de massa
restrita a um círculo de raio
. Encontre as autofunções e os autovalores de energia. Dica: use coordenadas esféricas projetadas no plano xy, ou seja pode usar a matemática do átomo de Hidrogênio.