Uma particula quântica esta confinada num poço de potencial infinito e unidimensional, entre . Para a função de onda do sistema é: , onde e são constates de normalização.
(a) Encontre a função de onda para o tempo .

Passo 1

Então, galera, vamos lá! A gente tem uma partícula quântica presa num poço de potencial infinito, que basicamente significa que ela não pode escapar desse intervalo . No instante inicial, , a função de onda da partícula é uma combinação de duas funções seno com diferentes frequências, ponderadas pelas constantes e . Nosso objetivo aqui é descobrir como essa função de onda evolui com o tempo, ou seja, encontrar .
Pra resolver isso, vamos precisar usar o conceito de funções de onda estacionárias e como elas evoluem no tempo segundo a mecânica quântica. Também vamos precisar normalizar a função de onda, mas, como os coeficientes e já são constantes de normalização, podemos focar na evolução temporal.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que, num poço de potencial infinito, as funções de onda estacionárias são dadas por senos com múltiplos inteiros do número sobre . Ou seja, as soluções estacionárias são da forma:
onde é um número inteiro positivo. Essas funções são chamadas de autofunções e cada uma corresponde a um autovalor de energia específico, que é:

Passo 3

Agora, nossa função de onda inicial é uma combinação dessas autofunções:
Aqui, e são os coeficientes que dizem o quanto cada estado estacionário contribui na função de onda inicial. Como essas funções são ortonormais, a condição de normalização exige que:
Isso garante que a probabilidade total de encontrar a partícula no poço seja 1.

Passo 4

Para encontrar a evolução temporal da função de onda, usamos a equação de Schrödinger dependente do tempo para cada autofunção:
Isso significa que cada componente da função de onda inicial vai oscilar no tempo com uma fase que depende da sua energia. Substituindo os valores de , temos:

Passo 5

Finalmente, combinamos as evoluções temporais de cada componente para obter a função de onda completa no tempo :
Simplificando os expoentes, temos:

Resposta

A função de onda para o tempo é:

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