Uma particula quântica esta confinada num poço de potencial infinito e unidimensional, entre 0 <= x. Para t=0 a função de onda do sistema é: psi(x, 0)=C1 sen(pi xa)+C2 sen(2 pi xa), onde C1 e C2 são constates de normalização.
(a) Encontre a função de onda para o tempo t.

Passo 1

Então, galera, vamos lá! A gente tem uma partícula quântica presa num poço de potencial infinito, que basicamente significa que ela não pode escapar desse intervalo 0 <= x < a. No instante inicial, t=0, a função de onda da partícula é uma combinação de duas funções seno com diferentes frequências, ponderadas pelas constantes C1 e C2. Nosso objetivo aqui é descobrir como essa função de onda evolui com o tempo, ou seja, encontrar psi(x, t).
Pra resolver isso, vamos precisar usar o conceito de funções de onda estacionárias e como elas evoluem no tempo segundo a mecânica quântica. Também vamos precisar normalizar a função de onda, mas, como os coeficientes C1 e C2 já são constantes de normalização, podemos focar na evolução temporal.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que, num poço de potencial infinito, as funções de onda estacionárias são dadas por senos com múltiplos inteiros do número pi sobre a. Ou seja, as soluções estacionárias são da forma:
psin(x) = raiz2a sin(npi xa)
onde n é um número inteiro positivo. Essas funções são chamadas de autofunções e cada uma corresponde a um autovalor de energia específico, que é:
En = n^2 pi^2 hbar^22ma^2

Passo 3

Agora, nossa função de onda inicial é uma combinação dessas autofunções:
psi(x, 0) = C1 sin(pi xa) + C2 sin(2pi xa)
Aqui, C1 e C2 são os coeficientes que dizem o quanto cada estado estacionário contribui na função de onda inicial. Como essas funções são ortonormais, a condição de normalização exige que:
|C1|^2 + |C2|^2 = 1
Isso garante que a probabilidade total de encontrar a partícula no poço seja 1.

Passo 4

Para encontrar a evolução temporal da função de onda, usamos a equação de Schrödinger dependente do tempo para cada autofunção:
psin(x, t) = psin(x) e^-i En t / hbar
Isso significa que cada componente da função de onda inicial vai oscilar no tempo com uma fase que depende da sua energia. Substituindo os valores de En, temos:
psin(x, t) = raiz2a sin(npi xa) e^-i n^2 pi^2 hbar2ma^2 t

Passo 5

Finalmente, combinamos as evoluções temporais de cada componente para obter a função de onda completa no tempo t:
psi(x, t) = C1 sin(pi xa) e^-i pi^2 hbar2ma^2 t + C2 sin(2pi xa) e^-i 4pi^2 hbar2ma^2 t
Simplificando os expoentes, temos:
psi(x, t) = C1 sin(pi xa) e^-i pi^2 hbar t2ma^2 + C2 sin(2pi xa) e^-i 2pi^2 hbar tma^2

Resposta

A função de onda para o tempo t é:
psi(x, t) = C1 sin(pi xa) e^-i pi^2 hbar t2ma^2 + C2 sin(2pi xa) e^-i 2pi^2 hbar tma^2

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