Considere a v. a. X normalmente distribuída com valor esperado mu e desvio padrão sigma. Determinar os valores de mu e sigma de modo que P(X <= 7)=0,06681 e P(X <= 4)=0,00135.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição normal, com média e desvio padrão . A parada é descobrir quais são os valores de e de forma que a probabilidade de ser menor ou igual a 7 seja 0,06681 e a probabilidade de ser menor ou igual a 4 seja 0,00135. Para resolver isso, vamos precisar usar a tabela da distribuição normal padrão e algumas equações básicas de estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a gente trabalha com distribuição normal, dá pra transformar qualquer valor z = X - musigma numa pontuação padrão usando a fórmula:
Essa transformação nos ajuda a usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades.

Passo 3

Então, vamos aplicar essa fórmula para os dois pontos que a questão nos deu. Para z1 = 7 - musigma :
z2 = 4 - musigma
E para :
Agora, sabemos que e . Vamos usar a tabela de para encontrar os valores correspondentes de e .

Passo 4

Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos que:
P(Z <= -1,5) approx 0,06681 e P(Z <= -3,0) approx 0,00135
Então, temos:
z1 = -1,5 = 7 - musigma
z2 = -3,0 = 4 - musigma
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas. Vamos resolver isso! Primeiro, rearranjamos as equações:
7 - mu = -1,5sigma Rightarrow mu = 7 + 1,5sigma
4 - mu = -3,0sigma Rightarrow mu = 4 + 3,0sigma
Agora, igualamos as duas expressões para 7 + 1,5sigma = 4 + 3,0sigma :
3 + 1,5sigma = 3,0sigma
Subtraindo 4 de ambos os lados:
3 = 1,5sigma Rightarrow sigma = 2
Subtraindo mu = 4 + 3,0 times 2 = 10 de ambos os lados:
Agora que temos , substituímos em uma das equações para achar :

Resposta

Os valores são e .

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