Suponha que um processo de fabricação produza determinado tipo de peças e cerca de
são consideradas defeituosas. Se 150 peças forem inspecionadas, qual seria a probabilidade de 25 ou menos peças defeituosas serem encontradas? Calcule a probabilidade exata e, em seguida, caso seja possível, recalcule utilizando-se de uma aproximação. R.:
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre uma fábrica que produz peças, e 15% delas são defeituosas. A gente precisa descobrir qual a probabilidade de, numa inspeção de 150 peças, encontrar 25 ou menos defeituosas. Vamos usar conceitos de probabilidade binomial para resolver isso e, depois, ver se dá para aproximar com outra técnica. O que a gente vai precisar saber é como calcular probabilidades em distribuições binomiais e, possivelmente, usar a aproximação normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição binomial. Nesse caso, cada peça pode ser defeituosa ou não defeituosa, com probabilidade fixa de defeito
. Como temos 150 peças, o número de defeituosas
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. A fórmula para a probabilidade exata de encontrar exatamente
defeituosas é:
Passo 3
Mas a gente quer a probabilidade de ter 25 ou menos defeituosas, ou seja,
. Isso é a soma das probabilidades de
até
:
Passo 4
Calcular isso diretamente pode ser bem trabalhoso, então vamos usar uma aproximação normal. Primeiro, verificamos se podemos usar essa aproximação verificando as condições:
e
devem ser maiores que 5. Aqui:
Como ambos são maiores que 5, dá para usar a aproximação normal.
Passo 5
Agora, calculamos a média
e o desvio padrão
da distribuição binomial:
Passo 6
Para usar a aproximação normal, aplicamos a correção de continuidade. Queremos
. Calculamos o valor z:
Passo 7
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos a probabilidade correspondente a
:
Resposta
A probabilidade de encontrar 25 ou menos peças defeituosas em 150 inspecionadas é aproximadamente 75,49 %.
Exercícios relacionados
Seja
, calcule:
a) ;
a)
Seja
, calcule:
d) .
d)
Considere a v. a. X normalmente distribuída com valor esperado
e desvio padrão
. Determinar os valores de
de modo que
e
.
Valor da variável
|
Probabilidade |
---|---|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
Baseado nesta distribuição populacional, calcule a média e a variância de
, considerando amostras aleatórias de tamanho 2.