Considere o número de estados acessíveis a um sistema formado por um gás ideal monoatômico como sendo:
Omega(E, p, T)=A(nu R Tp)^N E^32 N
onde A= constante e N=n^circ de moléculas. Encontre a variação do volume do gás (De quando sua temperatura vai de T1 a T2, isto é, encontre De em função de T1, T2 e da pressão p. Dica: use a relação de Maxwell apropriada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a variação do volume ( De) de um gás ideal monoatômico quando a temperatura muda de T1 para T2, mantendo a pressão constante ( p). A matéria envolvida aqui é Termodinâmica, mais especificamente a parte que lida com a entropia e as relações de Maxwell. Para resolver isso, vamos precisar entender como a entropia está relacionada ao volume e à temperatura, e usar uma das relações de Maxwell que conecta essas variáveis.

Passo 2

Primeiro, lembrando que o número de estados acessíveis ( Omega) está relacionado à entropia ( S) pela fórmula:
S = k ln Omega
Onde k é a constante de Boltzmann. Então, vamos expressar a entropia usando a expressão dada para Omega.

Passo 3

Substituindo Omega(E, p, T) na expressão da entropia, temos:
S = k ln [ A ( nu R Tp )^N E^32 N ]
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos.

Passo 4

Aplicando as propriedades dos logaritmos:
S = k ln A + k ln ( nu R Tp )^N + k ln E^32 N
Simplificando ainda mais:
S = k ln A + k N ln ( nu R Tp ) + 32 k N ln E

Passo 5

Agora, vamos expressar a energia E em termos da temperatura. Para um gás ideal monoatômico, a energia interna E está relacionada à temperatura pela relação:
E = 32 N k T
Substituindo essa expressão na equação da entropia:
S = k ln A + k N ln ( nu R Tp ) + 32 k N ln ( 32 N k T )

Passo 6

Simplificando os termos logarítmicos:
S = k ln A + k N ln ( nu R Tp ) + 32 k N ( ln ( 32 N k ) + ln T )
Agora, agrupamos os termos que contêm ln T.

Passo 7

Agrupando os termos com ln T:
S = k ln A + k N ln ( nu Rp ) + 32 k N ln ( 32 N k ) + ( k N + 32 k N ) ln T
Simplificando os coeficientes:
S = constante + 52 k N ln T

Passo 8

Agora, usamos uma das relações de Maxwell. Sabemos que:
( partial Spartial V )T = ( partial ppartial T )V
Mas como queremos relacionar V e T mantendo a pressão constante, vamos reorganizar para encontrar De em função de De.

Passo 9

Como a pressão é constante, podemos usar a lei dos gases ideais:
pV = nRT
Onde n é a quantidade de substância. Rearranjando para V:
V = nRTp

Passo 10

A variação do volume quando a temperatura muda de T1 para T2 é:
De
Simplificando:
De

Resposta

A variação do volume do gás quando a temperatura aumenta de T1 para T2, mantendo a pressão constante p, é dada por:
De

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