Considere o número de estados acessíveis a um sistema formado por um gás ideal monoatômico como sendo:
onde
constante e
de moléculas. Encontre a variação do volume do gás
quando sua temperatura vai de
a
, isto é, encontre
em função de
e da pressão
. Dica: use a relação de Maxwell apropriada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a variação do volume (
) de um gás ideal monoatômico quando a temperatura muda de
para
, mantendo a pressão constante (
). A matéria envolvida aqui é Termodinâmica, mais especificamente a parte que lida com a entropia e as relações de Maxwell. Para resolver isso, vamos precisar entender como a entropia está relacionada ao volume e à temperatura, e usar uma das relações de Maxwell que conecta essas variáveis.
Passo 2
Primeiro, lembrando que o número de estados acessíveis (
) está relacionado à entropia (
) pela fórmula:
Onde
é a constante de Boltzmann. Então, vamos expressar a entropia usando a expressão dada para
.
Passo 3
Substituindo
na expressão da entropia, temos:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos.
Passo 4
Aplicando as propriedades dos logaritmos:
Simplificando ainda mais:
Passo 5
Agora, vamos expressar a energia
em termos da temperatura. Para um gás ideal monoatômico, a energia interna
está relacionada à temperatura pela relação:
Substituindo essa expressão na equação da entropia:
Passo 6
Simplificando os termos logarítmicos:
Agora, agrupamos os termos que contêm
.
Passo 7
Agrupando os termos com
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 8
Agora, usamos uma das relações de Maxwell. Sabemos que:
Mas como queremos relacionar
e
mantendo a pressão constante, vamos reorganizar para encontrar
em função de
.
Passo 9
Como a pressão é constante, podemos usar a lei dos gases ideais:
Onde
é a quantidade de substância. Rearranjando para
:
Passo 10
A variação do volume quando a temperatura muda de
para
é:
Simplificando:
Resposta
A variação do volume do gás quando a temperatura aumenta de
para
, mantendo a pressão constante
, é dada por:
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e
.
Seja o número de estados acessíveis a um sistema dado por
, onde
é uma constante e
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associada ao sistema. Deixe sua resposta em função de
.
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