Considere o número de estados acessíveis a um sistema formado por um gás ideal monoatômico como sendo:
onde constante e de moléculas. Encontre a variação do volume do gás quando sua temperatura vai de a , isto é, encontre em função de e da pressão . Dica: use a relação de Maxwell apropriada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a variação do volume ( ) de um gás ideal monoatômico quando a temperatura muda de para , mantendo a pressão constante ( ). A matéria envolvida aqui é Termodinâmica, mais especificamente a parte que lida com a entropia e as relações de Maxwell. Para resolver isso, vamos precisar entender como a entropia está relacionada ao volume e à temperatura, e usar uma das relações de Maxwell que conecta essas variáveis.

Passo 2

Primeiro, lembrando que o número de estados acessíveis ( ) está relacionado à entropia ( ) pela fórmula:
Onde é a constante de Boltzmann. Então, vamos expressar a entropia usando a expressão dada para .

Passo 3

Substituindo na expressão da entropia, temos:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos.

Passo 4

Aplicando as propriedades dos logaritmos:
Simplificando ainda mais:

Passo 5

Agora, vamos expressar a energia em termos da temperatura. Para um gás ideal monoatômico, a energia interna está relacionada à temperatura pela relação:
Substituindo essa expressão na equação da entropia:

Passo 6

Simplificando os termos logarítmicos:
Agora, agrupamos os termos que contêm .

Passo 7

Agrupando os termos com :
Simplificando os coeficientes:

Passo 8

Agora, usamos uma das relações de Maxwell. Sabemos que:
Mas como queremos relacionar e mantendo a pressão constante, vamos reorganizar para encontrar em função de .

Passo 9

Como a pressão é constante, podemos usar a lei dos gases ideais:
Onde é a quantidade de substância. Rearranjando para :

Passo 10

A variação do volume quando a temperatura muda de para é:
Simplificando:

Resposta

A variação do volume do gás quando a temperatura aumenta de para , mantendo a pressão constante , é dada por:

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