Seja o número de estados acessíveis a um sistema dado por Omega(E)=A N V^N E^4, onde A é uma constante e N é o número de moléculas do sistema. Calcule a capacidade térmica a volume constante (CV) associada ao sistema. Deixe sua resposta em função de k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que nos dá o número de estados acessíveis de um sistema em termos da energia , que é . Queremos calcular a capacidade térmica a volume constante, , desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica estatística, como entropia e relação entre temperatura e energia. Vamos passo a passo entender e resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a entropia S = k ln Omega(E) de um sistema está relacionada ao número de estados acessíveis S = k ln(A N V^N E^4) pela fórmula:
Aqui, é a constante de Boltzmann. Então, substituindo na equação, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que S = k [ln A + ln N + N ln V + 4 ln E] e . Aplicando isso:

Passo 4

A próxima etapa é encontrar a relação entre a temperatura 1T = ( partial Spartial E )V e a energia partial Spartial E = k ( 4E ) . Sabemos que:
1T = k ( 4E ) Rightarrow T = E4k
Vamos derivar em relação a :
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a capacidade térmica a volume constante CV = ( partial Epartial T )V , que é definida como:
T = E4k Rightarrow E = 4kT
Usando a relação que encontramos entre partial Epartial T = 4k e :
Diferenciando em relação a :

Resposta

A capacidade térmica a volume constante CV = 4k do sistema é:

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