Seja o número de estados acessíveis a um sistema dado por
, onde
é uma constante e
é o número de moléculas do sistema. Calcule a capacidade térmica a volume constante
associada ao sistema. Deixe sua resposta em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que nos dá o número de estados acessíveis de um sistema em termos da energia
, que é
. Queremos calcular a capacidade térmica a volume constante,
, desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica estatística, como entropia e relação entre temperatura e energia. Vamos passo a passo entender e resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a entropia
de um sistema está relacionada ao número de estados acessíveis
pela fórmula:
Aqui,
é a constante de Boltzmann. Então, substituindo
na equação, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que
e
. Aplicando isso:
Passo 4
A próxima etapa é encontrar a relação entre a temperatura
e a energia
. Sabemos que:
Vamos derivar
em relação a
:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a capacidade térmica a volume constante
, que é definida como:
Usando a relação que encontramos entre
e
:
Diferenciando
em relação a
:
Resposta
A capacidade térmica a volume constante
do sistema é: