Seja o número de estados acessíveis a um sistema dado por , onde é uma constante e é o número de moléculas do sistema. Calcule a capacidade térmica a volume constante associada ao sistema. Deixe sua resposta em função de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que nos dá o número de estados acessíveis de um sistema em termos da energia , que é . Queremos calcular a capacidade térmica a volume constante, , desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica estatística, como entropia e relação entre temperatura e energia. Vamos passo a passo entender e resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a entropia de um sistema está relacionada ao número de estados acessíveis pela fórmula:
Aqui, é a constante de Boltzmann. Então, substituindo na equação, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que e . Aplicando isso:

Passo 4

A próxima etapa é encontrar a relação entre a temperatura e a energia . Sabemos que:
Vamos derivar em relação a :
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a capacidade térmica a volume constante , que é definida como:
Usando a relação que encontramos entre e :
Diferenciando em relação a :

Resposta

A capacidade térmica a volume constante do sistema é:

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