Considere que o número de vezes em que um indivíduo contrai gripe durante o período de um ano seja modelado por uma variável aleatória com distribuição de Poisson, com valor esperado igual a 4. Suponha ainda que uma nova droga, baseada em vitamina C, reduza esse valor esperado para 2 em 80 % da população (mantendo a distribuição de Poisson), enquanto não produza efeito algum nos demais 20 %. Avalie as afirmações a seguir:
© Suponha que um indivíduo escolhido aleatoriamente na população tenha contraído gripe duas vezes em um ano, mesmo tomando a nova droga. A probabilidade de que ele pertença à parcela beneficiada pela droga é (1+e^-2)^-1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma situação onde a quantidade de vezes que uma pessoa pega gripe num ano segue uma distribuição de Poisson. Originalmente, a média (ou valor esperado) é 4 vezes por ano. Agora, surgiu uma droga nova que, em 80% da população, diminui essa média para 2 vezes por ano, mantendo a distribuição de Poisson. Já nos outros 20%, a droga não faz nada e a média continua 4. A pergunta aqui é: se a gente escolher uma pessoa aleatoriamente que pegou gripe 2 vezes nesse ano mesmo usando a droga, qual a probabilidade dessa pessoa ser da galera que foi beneficiada pela droga? A afirmação sugere que essa probabilidade é (1+e^-2)^-1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo, quando esses eventos acontecem com uma taxa média constante e de forma independente. A fórmula da probabilidade de exatamente $ k $ eventos é:
k
onde $ \lambda $ é a média de eventos.

Passo 3

Aqui, a média sem a droga é $ \lambda = 4 $ e com a droga é $ \lambda = 2 $. Além disso, 80% da população toma a droga e 20% não tomam. Queremos saber a probabilidade de uma pessoa que pegou 2 gripes ser daquelas que tomaram a droga.

Passo 4

Vamos usar o Teorema de Bayes para resolver isso. O Teorema de Bayes nos ajuda a encontrar a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu. No nosso caso:
P(B|A) = P(A|B) cdot P(B)P(A)
onde:
  • $ P(B|A) $ é a probabilidade de a pessoa ter tomado a droga dado que ela pegou 2 gripes.
  • $ P(A|B) $ é a probabilidade de pegar 2 gripes sendo que tomou a droga.
  • $ P(B) $ é a probabilidade geral de uma pessoa estar na parte que tomou a droga.
  • $ P(A) $ é a probabilidade geral de pegar 2 gripes.

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. $ P(B) $: 80% da população tomou a droga, então $ P(B) = 0.8 $.
  2. $ P(A|B) $: Probabilidade de pegar 2 gripes com a droga, que tem $ \lambda = 2 $.
P(B)
  1. $ P(A|\neg B) $: Probabilidade de pegar 2 gripes sem a droga, com $ \lambda = 4 $.
P(B) = 0.8
  1. $ P(\neg B) $: 20% da população não tomou a droga, então $ P(\neg B) = 0.2 $.
  2. $ P(A) $: Probabilidade geral de pegar 2 gripes.
P(A|B)

Passo 6

Agora, substituindo na fórmula de Bayes:
P(B|A) = 2 e^-2 cdot 0.82 e^-2 cdot 0.8 + 8 e^-4 cdot 0.2
Vamos simplificar:
P(B|A) = 1.6 e^-21.6 e^-2 + 1.6 e^-4 = e^-2e^-2 + e^-4
Fatorando $ e^{-2} $:
e^-2

Passo 7

Então, chegamos na expressão final:
P(B|A) = (1 + e^-2)^-1

Resposta

A probabilidade de que o indivíduo pertença à parcela beneficiada pela droga é (1+e^-2)^-1.

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