Considere que o número de vezes em que um indivíduo contrai gripe durante o período de um ano seja modelado por uma variável aleatória com distribuição de Poisson, com valor esperado igual a 4. Suponha ainda que uma nova droga, baseada em vitamina C, reduza esse valor esperado para 2 em
da população (mantendo a distribuição de Poisson), enquanto não produza efeito algum nos demais
. Avalie as afirmações a seguir:
© Suponha que um indivíduo escolhido aleatoriamente na população tenha contraído gripe duas vezes em um ano, mesmo tomando a nova droga. A probabilidade de que ele pertença à parcela beneficiada pela droga é
.
© Suponha que um indivíduo escolhido aleatoriamente na população tenha contraído gripe duas vezes em um ano, mesmo tomando a nova droga. A probabilidade de que ele pertença à parcela beneficiada pela droga é
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma situação onde a quantidade de vezes que uma pessoa pega gripe num ano segue uma distribuição de Poisson. Originalmente, a média (ou valor esperado) é 4 vezes por ano. Agora, surgiu uma droga nova que, em 80% da população, diminui essa média para 2 vezes por ano, mantendo a distribuição de Poisson. Já nos outros 20%, a droga não faz nada e a média continua 4. A pergunta aqui é: se a gente escolher uma pessoa aleatoriamente que pegou gripe 2 vezes nesse ano mesmo usando a droga, qual a probabilidade dessa pessoa ser da galera que foi beneficiada pela droga? A afirmação sugere que essa probabilidade é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo, quando esses eventos acontecem com uma taxa média constante e de forma independente. A fórmula da probabilidade de exatamente $ k $ eventos é:
onde $ \lambda $ é a média de eventos.
Passo 3
Aqui, a média sem a droga é $ \lambda = 4 $ e com a droga é $ \lambda = 2 $. Além disso, 80% da população toma a droga e 20% não tomam. Queremos saber a probabilidade de uma pessoa que pegou 2 gripes ser daquelas que tomaram a droga.
Passo 4
Vamos usar o Teorema de Bayes para resolver isso. O Teorema de Bayes nos ajuda a encontrar a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu. No nosso caso:
onde:
- $ P(B|A) $ é a probabilidade de a pessoa ter tomado a droga dado que ela pegou 2 gripes.
- $ P(A|B) $ é a probabilidade de pegar 2 gripes sendo que tomou a droga.
- $ P(B) $ é a probabilidade geral de uma pessoa estar na parte que tomou a droga.
- $ P(A) $ é a probabilidade geral de pegar 2 gripes.
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
- $ P(B) $: 80% da população tomou a droga, então $ P(B) = 0.8 $.
- $ P(A|B) $: Probabilidade de pegar 2 gripes com a droga, que tem $ \lambda = 2 $.
- $ P(A|\neg B) $: Probabilidade de pegar 2 gripes sem a droga, com $ \lambda = 4 $.
-
$ P(\neg B) $: 20% da população não tomou a droga, então $ P(\neg B) = 0.2 $.
-
$ P(A) $: Probabilidade geral de pegar 2 gripes.
Passo 6
Agora, substituindo na fórmula de Bayes:
Vamos simplificar:
Fatorando $ e^{-2} $:
Passo 7
Então, chegamos na expressão final:
Resposta
A probabilidade de que o indivíduo pertença à parcela beneficiada pela droga é
.