Considere os números a aprox neq 0, b aprox neq 0, a ex e b ex de modo que
E rel |a=a aprox -a ex a aprox e E rel |b=b aprox -b ex b aprox
Se 0 neq c aprox =a aprox +b aprox mostre que
E rel |c=E rel |a cdot a aprox +E rel |b cdot b aprox a aprox +b aprox

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem dois números aproximados, e , e os valores exatos correspondentes, e . A questão fala sobre erro relativo, que é uma forma de medir o quão próximo o valor aproximado está do valor exato. A gente precisa mostrar que, quando somamos e para obter , o erro relativo de pode ser calculado usando os erros relativos de e . Para isso, vamos usar a definição de erro relativo e fazer umas contas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de erro relativo. Para um valor Erel|x = xaprox - xexxaprox , o erro relativo é dado por:
Isso basicamente nos diz quanto o valor aproximado está afastado do valor exato, proporcionalmente ao valor aproximado.

Passo 3

A gente tem cex = aex + bex . Queremos achar o erro relativo de , ou seja, .
Para isso, precisamos primeiro encontrar , o valor exato de . Como , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro relativo de Erel|c = caprox - cexcaprox = (aaprox + baprox) - (aex + bex)aaprox + baprox :

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
(aaprox + baprox) - (aex + bex) = (aaprox - aex) + (baprox - bex)
Então, substituindo de volta na expressão do erro relativo:
Erel|c = (aaprox - aex) + (baprox - bex)aaprox + baprox

Passo 6

Agora, vamos reescrever cada termo do numerador usando as definições dos erros relativos de aaprox - aex = Erel|a cdot aaprox e baprox - bex = Erel|b cdot baprox :
Erel|c = Erel|a cdot aaprox + Erel|b cdot baproxaaprox + baprox
Substituindo isso na expressão do erro relativo de :

Resposta

Assim, mostramos que:
Erel|c = Erel|a cdot aaprox + Erel|b cdot baproxaaprox + baprox

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