Considere os números e de modo que
Se mostre que

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem dois números aproximados, e , e os valores exatos correspondentes, e . A questão fala sobre erro relativo, que é uma forma de medir o quão próximo o valor aproximado está do valor exato. A gente precisa mostrar que, quando somamos e para obter , o erro relativo de pode ser calculado usando os erros relativos de e . Para isso, vamos usar a definição de erro relativo e fazer umas contas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de erro relativo. Para um valor , o erro relativo é dado por:
Isso basicamente nos diz quanto o valor aproximado está afastado do valor exato, proporcionalmente ao valor aproximado.

Passo 3

A gente tem . Queremos achar o erro relativo de , ou seja, .
Para isso, precisamos primeiro encontrar , o valor exato de . Como , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro relativo de :

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Então, substituindo de volta na expressão do erro relativo:

Passo 6

Agora, vamos reescrever cada termo do numerador usando as definições dos erros relativos de e :
Substituindo isso na expressão do erro relativo de :

Resposta

Assim, mostramos que:

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O valor de com dezesseis casas decimais de precisão é 0,0050314187. Deste modo, calcule o valor de com dez casas decimais de precisão:
(b) empregando a racionalização
Temos a vívida lembrança que as raízes da equação de segundo grau quando são
Considere a equação , cujas raízes são aproximadamente
(b) Calcule os erros relativos das raízes e obtidas no item (a). Qual destas raízes teve grande erro relativo?