Considere os números
e
de modo que
Se
mostre que
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem dois números aproximados,
e
, e os valores exatos correspondentes,
e
. A questão fala sobre erro relativo, que é uma forma de medir o quão próximo o valor aproximado está do valor exato. A gente precisa mostrar que, quando somamos
e
para obter
, o erro relativo de
pode ser calculado usando os erros relativos de
e
. Para isso, vamos usar a definição de erro relativo e fazer umas contas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de erro relativo. Para um valor
, o erro relativo é dado por:
Isso basicamente nos diz quanto o valor aproximado está afastado do valor exato, proporcionalmente ao valor aproximado.
Passo 3
A gente tem
. Queremos achar o erro relativo de
, ou seja,
.
Para isso, precisamos primeiro encontrar
, o valor exato de
. Como
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o erro relativo de
:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Então, substituindo de volta na expressão do erro relativo:
Passo 6
Agora, vamos reescrever cada termo do numerador usando as definições dos erros relativos de
e
:
Substituindo isso na expressão do erro relativo de
:
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
O valor de
com dezesseis casas decimais de precisão é 0,0050314187. Deste modo, calcule o valor de
com dez casas decimais de precisão:
(b) empregando a racionalização
(b) empregando a racionalização
Temos a vívida lembrança que as raízes da equação de segundo grau
quando
são
Considere a equação
, cujas raízes são aproximadamente
(b) Calcule os erros relativos das raízes
e
obtidas no item (a). Qual destas raízes teve grande erro relativo?