O valor de
com dezesseis casas decimais de precisão é 0,0050314187. Deste modo, calcule o valor de
com dez casas decimais de precisão:
(b) empregando a racionalização
(b) empregando a racionalização
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos a diferença entre as raízes quadradas de 9876 e 9875, ou seja,
, com dez casas decimais de precisão. Para resolver isso, vamos usar a técnica de racionalização, que ajuda a simplificar expressões envolvendo raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é racionalização. Quando temos uma expressão com raízes no denominador ou numa diferença, como
, podemos multiplicar e dividir por uma expressão que elimina as raízes do denominador ou simplifica a diferença. No nosso caso, vamos usar a identidade:
Essa fórmula facilita o cálculo porque agora temos uma fração com raízes no denominador, mas a diferença das raízes foi eliminada.
Passo 3
Aplicando essa identidade ao nosso problema:
Agora precisamos encontrar o valor de
para poder calcular a fração.
Passo 4
Vamos calcular
primeiro. Sabemos que
e
, então
está entre 99 e 100. Para uma aproximação mais precisa, podemos usar a fórmula de aproximação linear:
Aqui, vamos considerar
(já que
) e
.
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Usando a mesma abordagem:
Já estimamos
, então:
Passo 6
Agora que temos ambas as raízes, vamos somá-las:
Passo 7
Finalmente, voltando à nossa expressão original:
Resposta
O valor de
com dez casas decimais de precisão é aproximadamente 0,0050314187.
Exercícios relacionados
Temos a vívida lembrança que as raízes da equação de segundo grau
quando
são
Considere a equação
, cujas raízes são aproximadamente
(b) Calcule os erros relativos das raízes
e
obtidas no item (a). Qual destas raízes teve grande erro relativo?
Converta os seguintes números decimais para sua forma binária
(d)
(d)
Considere os números
e
de modo que
Se
mostre que