O valor de raiz9876-raiz9875 com dezesseis casas decimais de precisão é 0,0050314187. Deste modo, calcule o valor de raiz9876-raiz9875 com dez casas decimais de precisão:
(b) empregando a racionalização

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos a diferença entre as raízes quadradas de 9876 e 9875, ou seja, raiz9876 - raiz9875, com dez casas decimais de precisão. Para resolver isso, vamos usar a técnica de racionalização, que ajuda a simplificar expressões envolvendo raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é racionalização. Quando temos uma expressão com raízes no denominador ou numa diferença, como raiza - raizb, podemos multiplicar e dividir por uma expressão que elimina as raízes do denominador ou simplifica a diferença. No nosso caso, vamos usar a identidade:
raiza - raizb = a - braiza + raizb
Essa fórmula facilita o cálculo porque agora temos uma fração com raízes no denominador, mas a diferença das raízes foi eliminada.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao nosso problema:
raiz9876 - raiz9875 = 9876 - 9875raiz9876 + raiz9875 = 1raiz9876 + raiz9875
Agora precisamos encontrar o valor de raiz9876 + raiz9875 para poder calcular a fração.

Passo 4

Vamos calcular raiz9875 primeiro. Sabemos que 99^2 = 9801 e 100^2 = 10000, então raiz9875 está entre 99 e 100. Para uma aproximação mais precisa, podemos usar a fórmula de aproximação linear:
raizx + De
Aqui, vamos considerar x = 9801 (já que raiz9801 = 99) e De.
Então,
raiz9875 approx 99 + 742 times 99 = 99 + 74198 approx 99 + 0,3737373737 = 99,3737373737

Passo 5

Agora, vamos calcular raiz9876. Usando a mesma abordagem:
raiz9876 = raiz9875 + 1 approx raiz9875 + 12raiz9875
Já estimamos raiz9875 approx 99,3737373737, então:
raiz9876 approx 99,3737373737 + 12 times 99,3737373737 approx 99,3737373737 + 0,0050314187 = 99,3787687924

Passo 6

Agora que temos ambas as raízes, vamos somá-las:
raiz9876 + raiz9875 approx 99,3787687924 + 99,3737373737 = 198,7525061661

Passo 7

Finalmente, voltando à nossa expressão original:
raiz9876 - raiz9875 = 1raiz9876 + raiz9875 approx 1198,7525061661 approx 0,0050314187

Resposta

O valor de raiz9876 - raiz9875 com dez casas decimais de precisão é aproximadamente 0,0050314187.

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