O valor de com dezesseis casas decimais de precisão é 0,0050314187. Deste modo, calcule o valor de com dez casas decimais de precisão:
(b) empregando a racionalização

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos a diferença entre as raízes quadradas de 9876 e 9875, ou seja, , com dez casas decimais de precisão. Para resolver isso, vamos usar a técnica de racionalização, que ajuda a simplificar expressões envolvendo raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é racionalização. Quando temos uma expressão com raízes no denominador ou numa diferença, como , podemos multiplicar e dividir por uma expressão que elimina as raízes do denominador ou simplifica a diferença. No nosso caso, vamos usar a identidade:
Essa fórmula facilita o cálculo porque agora temos uma fração com raízes no denominador, mas a diferença das raízes foi eliminada.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao nosso problema:
Agora precisamos encontrar o valor de para poder calcular a fração.

Passo 4

Vamos calcular primeiro. Sabemos que e , então está entre 99 e 100. Para uma aproximação mais precisa, podemos usar a fórmula de aproximação linear:
Aqui, vamos considerar (já que ) e .
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular . Usando a mesma abordagem:
Já estimamos , então:

Passo 6

Agora que temos ambas as raízes, vamos somá-las:

Passo 7

Finalmente, voltando à nossa expressão original:

Resposta

O valor de com dez casas decimais de precisão é aproximadamente 0,0050314187.

Exercícios relacionados

Temos a vívida lembrança que as raízes da equação de segundo grau quando são
Considere a equação , cujas raízes são aproximadamente
(b) Calcule os erros relativos das raízes e obtidas no item (a). Qual destas raízes teve grande erro relativo?
Converta os seguintes números decimais para sua forma binária
(d)
Considere os números e de modo que
Se mostre que