Temos a vívida lembrança que as raízes da equação de segundo grau a x^2+b x+c=0 quando a neq 0 são
x1=-b+raizb^2-4 a c2 a e x2=-b-raizb^2-4 a c2 a
Considere a equação x^2+62,10 x+1=0, cujas raízes são aproximadamente
x1=-0,01610723 e x2=-62,08390
(b) Calcule os erros relativos das raízes x1 e x2 obtidas no item (a). Qual destas raízes teve grande erro relativo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação do 2º grau:
x^2 + 62,10x + 1 = 0
E as raízes encontradas foram aproximadamente:
x1 = -0,01610723 e x2 = -62,08390
O conteúdo que vamos usar aqui é o Erro Relativo, que ajuda a medir o quão próximo nosso valor aproximado está do valor exato. Para calcular o erro relativo, precisamos saber o valor exato e o valor aproximado da raiz.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as raízes exatas da equação para poder comparar com as aproximações que foram dadas. Vamos usar a fórmula de Bhaskara para isso. A fórmula é:
x1,2 = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, os coeficientes são:

Passo 3

Vamos calcular o discriminante ( De) primeiro:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes exatas:
x1 = -62,10 + raiz3846,412 times 1 x2 = -62,10 - raiz3846,412 times 1
Vamos calcular raiz3846,41 approx 62,00 :

Passo 5

Substituindo na fórmula:
Para x1 = -62,10 + 62,002 = -0,102 = -0,05 :
x2 = -62,10 - 62,002 = -124,102 = -62,05
Para x1, exato = -0,05 e x2, exato = -62,05 :
Então, as raízes exatas são aproximadamente:

Passo 6

Agora, vamos calcular o Erro Relativo para cada raiz. A fórmula do erro relativo é:
Erro Relativo = | Valor Aproximado - Valor ExatoValor Exato |

Passo 7

Vamos calcular o erro relativo para Erro Relativo1 = | -0,01610723 - (-0,05)-0,05 | = | 0,03389277-0,05 | = 0,6778554 ou 67,79% :
Valor aproximado:
Valor exato:

Passo 8

Agora, o erro relativo para Erro Relativo2 = | -62,08390 - (-62,05)-62,05 | = | -0,03390-62,05 | = 0,0005467 ou 0,05467% :
Valor aproximado:
Valor exato:

Resposta

Calculamos os erros relativos das raízes e vimos que:
  • Erro Relativo de : 67,79%
  • Erro Relativo de : 0,05467%
Portanto, a raiz teve um erro relativo muito maior comparado à raiz .

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