Temos a vívida lembrança que as raízes da equação de segundo grau quando são
Considere a equação , cujas raízes são aproximadamente
(b) Calcule os erros relativos das raízes e obtidas no item (a). Qual destas raízes teve grande erro relativo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação do 2º grau:
E as raízes encontradas foram aproximadamente:
O conteúdo que vamos usar aqui é o Erro Relativo, que ajuda a medir o quão próximo nosso valor aproximado está do valor exato. Para calcular o erro relativo, precisamos saber o valor exato e o valor aproximado da raiz.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as raízes exatas da equação para poder comparar com as aproximações que foram dadas. Vamos usar a fórmula de Bhaskara para isso. A fórmula é:
Aqui, os coeficientes são:
Passo 3
Vamos calcular o discriminante () primeiro:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes exatas:
Vamos calcular :
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Para :
Para :
Então, as raízes exatas são aproximadamente:
Passo 6
Agora, vamos calcular o Erro Relativo para cada raiz. A fórmula do erro relativo é:
Passo 7
Vamos calcular o erro relativo para Erro Relativo1 = | -0,01610723 - (-0,05)-0,05 | = | 0,03389277-0,05 | = 0,6778554 ou 67,79% :
Valor aproximado:
Valor exato:
Passo 8
Agora, o erro relativo para Erro Relativo2 = | -62,08390 - (-62,05)-62,05 | = | -0,03390-62,05 | = 0,0005467 ou 0,05467% :
Valor aproximado:
Valor exato:
Resposta
Calculamos os erros relativos das raízes e vimos que:
Erro Relativo de : 67,79%
Erro Relativo de : 0,05467%
Portanto, a raiz teve um erro relativo muito maior comparado à raiz .