Considere um objeto sujeito a uma força
dada por
.
d) Calcule o trabalho dessa força do ponto
até o ponto
na trajetória
d) Calcule o trabalho dessa força do ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o trabalho realizado por uma força
no deslocamento de um ponto A
até o ponto B
ao longo da trajetória
. Aqui, estamos lidando com o conceito de trabalho em cálculo vetorial, especificamente usando integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho de uma força ao longo de um caminho específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
realizado por uma força
ao longo de um caminho
é dado por:
Aqui,
representa o produto escalar entre a força e o diferencial de deslocamento ao longo do caminho.
Passo 3
Vamos parametrizar a trajetória
. Isso significa que vamos expressar as coordenadas
e
em função de um parâmetro, que aqui pode ser simplesmente
.
Então, podemos escrever:
O diferencial de deslocamento
é:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na expressão do trabalho:
Lembrando que
ao longo do caminho.
Passo 5
Substituindo
por
na força:
Então, o produto escalar fica:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Vamos calcular essa integral termo a termo.
Passo 7
Integrando:
Passo 8
Somando os resultados das integrais:
Resposta
O trabalho realizado pela força
no deslocamento de A
até B
ao longo da trajetória
é
unidades de trabalho.