Considere um objeto sujeito a uma força F1 dada por F1=(y, x^3).
d) Calcule o trabalho dessa força do ponto A=(0,0) até o ponto B=(1,1) na trajetória y=x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o trabalho realizado por uma força F1 = (y, x^3) no deslocamento de um ponto A (0,0) até o ponto B (1,1) ao longo da trajetória y = x^3. Aqui, estamos lidando com o conceito de trabalho em cálculo vetorial, especificamente usando integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho de uma força ao longo de um caminho específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho W realizado por uma força F ao longo de um caminho C é dado por:
W = integralC F cdot dr
Aqui, F cdot dr representa o produto escalar entre a força e o diferencial de deslocamento ao longo do caminho.

Passo 3

Vamos parametrizar a trajetória y = x^3. Isso significa que vamos expressar as coordenadas x e y em função de um parâmetro, que aqui pode ser simplesmente x.
Então, podemos escrever:
r(x) = (x, x^3)
O diferencial de deslocamento dr é:
dr = (dxdx, dydx)dx = (1, 3x^2)dx

Passo 4

Agora, substituímos F e dr na expressão do trabalho:
W = integral0^1 F(x, y) cdot dr = integral0^1 (y, x^3) cdot (1, 3x^2)dx
Lembrando que y = x^3 ao longo do caminho.

Passo 5

Substituindo y por x^3 na força:
F(x, y) = (x^3, x^3)
Então, o produto escalar fica:
F cdot dr = (x^3)(1) + (x^3)(3x^2) = x^3 + 3x^5

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de x = 0 a x = 1:
W = integral0^1 (x^3 + 3x^5)dx
Vamos calcular essa integral termo a termo.

Passo 7

Integrando:
integral0^1 x^3dx = [ x^44 ]0^1 = 14 - 0 = 14
integral0^1 3x^5dx = 3 [ x^66 ]0^1 = 3 ( 16 - 0 ) = 12

Passo 8

Somando os resultados das integrais:
W = 14 + 12 = 34

Resposta

O trabalho realizado pela força F1 no deslocamento de A (0,0) até B (1,1) ao longo da trajetória y = x^3 é boxeddfrac34 unidades de trabalho.

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