Num experimehțo dè difração na fenda dupla de Young, o comprimento de onda incidente é 600 nm , a largura de cada fenda é de 50 mu m e a distância entre as fendas é de 0,3 mm. Qual é a razão entre as intensidades da franja clara de ordem 4 e da franja central? Justifique detalhadamente. (1,5)

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um experimento de fenda dupla de Young onde:
  • O comprimento de onda da luz usada é 600 nm.
  • Cada fenda tem uma largura de 50 μm.
  • A distância entre as fendas é de 0,3 mm.
Queremos descobrir qual é a razão entre as intensidades da franja clara de ordem 4 e da franja central. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de interferência e difração em fendas duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um experimento de fenda dupla, as franjas claras (ou máximos de interferência) ocorrem quando a diferença de caminho entre as duas fendas é um múltiplo inteiro do comprimento de onda. A intensidade dessas franjas depende tanto da interferência quanto da difração causada pela largura das fendas.
Precisamos calcular a intensidade das franjas levando em conta ambos os efeitos.

Passo 3

A intensidade das franjas em uma fenda dupla pode ser expressa pela fórmula:
Im = I0 ( sin betabeta )^2 cos^2 alpha
Onde:
  • $ I_m $ é a intensidade da m-ésima franja.
  • $ I_0 $ é a intensidade máxima (na franja central).
  • $ \beta = \frac{\pi a \sin \theta}{\lambda} $ está relacionado à difração pela largura das fendas.
  • $ \alpha = \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda} $ está relacionado à interferência entre as duas fendas.
  • $ a $ é a largura de cada fenda.
  • $ d $ é a distância entre as fendas.
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda da luz.
  • $ \theta $ é o ângulo da franja em relação ao ponto central.

Passo 4

Para a franja central ($ m = 0 $), temos $ \alpha = 0 $ e $ \cos^2 \alpha = 1 $. Portanto, a intensidade da franja central é:
m = 0
Já para a franja de ordem 4 ($ m = 4 $), precisamos encontrar o ângulo $ \theta $ correspondente e calcular a intensidade usando a mesma fórmula.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar o ângulo $ \theta $ para a franja de ordem 4. A condição para os máximos de interferência é:
theta
Onde $ m = 4 $.
Substituindo os valores:
  • $ d = 0,3 mm = 0,3 \times 10^{-3} m $
  • $ \lambda = 600 nm = 600 \times 10^{-9} m $
d sin theta = m lambda
m = 4

Passo 6

Agora, calculamos $ \beta $ e $ \alpha $:
beta
alpha

Passo 7

Agora, calculamos cada parte da fórmula da intensidade para $ m = 4 $:
Primeiro, calculamos $ \left( \frac{\sin \beta}{\beta} \right)^2 $:
m = 4
Em seguida, calculamos $ \cos^2 \alpha $. Como $ \alpha \approx 12,566 $ radianos, que é múltiplo de $ 2\pi $, temos:
( sin betabeta )^2
Então,
( sin 2,0942,094 )^2 approx ( 0,8662,094 )^2 approx (0,414)^2 approx 0,171

Passo 8

Agora, multiplicamos os dois resultados para encontrar a intensidade da franja de ordem 4:
I4 = I0 times 0,171 times 1 = 0,171 I0

Resposta

A razão entre as intensidades da franja clara de ordem 4 e da franja central é aproximadamente 0,171.

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