Num experimehțo dè difração na fenda dupla de Young, o comprimento de onda incidente é 600 nm , a largura de cada fenda é de
e a distância entre as fendas é de
. Qual é a razão entre as intensidades da franja clara de ordem 4 e da franja central? Justifique detalhadamente.
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um experimento de fenda dupla de Young onde:
- O comprimento de onda da luz usada é 600 nm.
- Cada fenda tem uma largura de 50 μm.
- A distância entre as fendas é de 0,3 mm.
Queremos descobrir qual é a razão entre as intensidades da franja clara de ordem 4 e da franja central. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de interferência e difração em fendas duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um experimento de fenda dupla, as franjas claras (ou máximos de interferência) ocorrem quando a diferença de caminho entre as duas fendas é um múltiplo inteiro do comprimento de onda. A intensidade dessas franjas depende tanto da interferência quanto da difração causada pela largura das fendas.
Precisamos calcular a intensidade das franjas levando em conta ambos os efeitos.
Passo 3
A intensidade das franjas em uma fenda dupla pode ser expressa pela fórmula:
Onde:
- $ I_m $ é a intensidade da m-ésima franja.
- $ I_0 $ é a intensidade máxima (na franja central).
- $ \beta = \frac{\pi a \sin \theta}{\lambda} $ está relacionado à difração pela largura das fendas.
- $ \alpha = \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda} $ está relacionado à interferência entre as duas fendas.
- $ a $ é a largura de cada fenda.
- $ d $ é a distância entre as fendas.
- $ \lambda $ é o comprimento de onda da luz.
- $ \theta $ é o ângulo da franja em relação ao ponto central.
Passo 4
Para a franja central ($ m = 0 $), temos $ \alpha = 0 $ e $ \cos^2 \alpha = 1 $. Portanto, a intensidade da franja central é:
Já para a franja de ordem 4 ($ m = 4 $), precisamos encontrar o ângulo $ \theta $ correspondente e calcular a intensidade usando a mesma fórmula.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar o ângulo $ \theta $ para a franja de ordem 4. A condição para os máximos de interferência é:
Onde $ m = 4 $.
Substituindo os valores:
- $ d = 0,3 mm = 0,3 \times 10^{-3} m $
- $ \lambda = 600 nm = 600 \times 10^{-9} m $
Passo 6
Agora, calculamos $ \beta $ e $ \alpha $:
Passo 7
Agora, calculamos cada parte da fórmula da intensidade para $ m = 4 $:
Primeiro, calculamos $ \left( \frac{\sin \beta}{\beta} \right)^2 $:
Em seguida, calculamos $ \cos^2 \alpha $. Como $ \alpha \approx 12,566 $ radianos, que é múltiplo de $ 2\pi $, temos:
Então,
Passo 8
Agora, multiplicamos os dois resultados para encontrar a intensidade da franja de ordem 4:
Resposta
A razão entre as intensidades da franja clara de ordem 4 e da franja central é aproximadamente 0,171.