1. Considere uma onda harmônica (onda 1) unidimensional progressiva que se propaga em uma corda descrita pelas seguintes quantidades: Amplitude de 2 metros, comprimento de onda de pi / 2 metros e frequência de 2 / pi s^-1.
    d) Agora considere que uma outra onda se propaga na corda, onda 2, que é idêntica à onda 1, a menos de uma diferença de fase de phi=60^circ. Como temos duas ondas se propagando na mesma corda, ocorre o fenômeno de interferência, de modo que as ondas 1 e 2 se somam produzindo uma onda resultante. Usando cos a+cos b=2 cos (a+b2) cos (a-b2), deduza a equação que descreve essa onda resultante. (1,0)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre duas ondas harmônicas que estão se propagando na mesma corda. A primeira onda (onda 1) tem uma amplitude de 2 metros, comprimento de onda de metros e frequência de s . A segunda onda (onda 2) é igual à primeira, mas com uma diferença de fase de . Nosso objetivo é encontrar a equação da onda resultante quando essas duas ondas se somam, utilizando a fórmula trigonométrica . Para isso, vamos precisar entender conceitos de interferência de ondas, superposição de ondas e aplicação de identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar matematicamente as duas ondas. Uma onda harmônica unidimensional progressiva pode ser descrita pela função:
y(x, t) = A cos(kx - omega t + phi)
Onde:
  • y1(x, t) = 2 cos(kx - omega t) é a amplitude,
  • y2(x, t) = 2 cos(kx - omega t + 60^circ) é o número de onda,
  • é a frequência angular,
  • é a fase.
Para a onda 1, que não tem diferença de fase, temos:
E para a onda 2, que tem uma diferença de fase de , a equação fica:

Passo 3

Agora, queremos somar essas duas ondas para encontrar a onda resultante cos a + cos b = 2 cos(a + b2) cos(a - b2) . Utilizamos a fórmula trigonométrica dada:
a = kx - omega t
Aqui, vamos identificar b = kx - omega t + 60^circ e nas nossas equações:

Passo 4

Aplicando a fórmula, temos:
yr(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = 2 cos(kx - omega t) + 2 cos(kx - omega t + 60^circ)
Fatorando o 2:
yr(x, t) = 2 [ cos(kx - omega t) + cos(kx - omega t + 60^circ) ]
Agora, aplicando a fórmula trigonométrica:
yr(x, t) = 2 times 2 cos((kx - omega t) + (kx - omega t + 60^circ)2) cos((kx - omega t) - (kx - omega t + 60^circ)2)
Simplificando os termos dentro dos cossenos:
yr(x, t) = 4 cos(kx - omega t + 30^circ) cos(-30^circ)
Como yr(x, t) = 4 cos(kx - omega t + 30^circ) cos(30^circ) :
yr(x, t) = 4 times raiz32 cos(kx - omega t + 30^circ) = 2raiz3 cos(kx - omega t + 30^circ)
Sabendo que :

Resposta

A equação que descreve a onda resultante é:
yr(x, t) = 2raiz3 cos(kx - omega t + 30^circ)

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