Numa tarde tranquila, um engenheiro de áudio decide testar o desempenho do novo alto-falante que projetou. Para isso, ele usa uma frequência pura de 200pi H z e observa o movimento do diafragma. Através de seus instrumentos, ele nota que o deslocamento máximo do diafragma é de 2 times 10^-3 m com relação à sua posição de equilíbrio. Considerando o movimento do diafragma como um MHS, responda:
d) A partir da equação x(t), obtenha as equações da velocidade v(t) e da aceleração a(t). (0,6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de um diafragma de um alto-falante, que está se movendo de forma MHS (Movimento Harmônico Simples). A gente precisa encontrar as equações da velocidade e da aceleração a partir da posição . Para isso, vamos lembrar que em um MHS, a posição é uma função senoidal no tempo, e para achar a velocidade e a aceleração, a gente vai derivar essa função em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a equação da posição x(t) = A sin(omega t) . No MHS, a posição pode ser descrita por:
omega = 2pi f = 2pi times 200pi = 400 , rad/s
Onde:
  • x(t) = 2 times 10^-3 sin(400 t) é a amplitude do movimento, que é .
  • é a frequência angular.
A frequência dada é , então a frequência angular é calculada por:
Então, substituindo os valores, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade v(t) = dx(t)dt , que é a derivada de v(t) = 2 times 10^-3 times 400 cos(400 t) = 0,8 cos(400 t) , m/s em relação ao tempo :
Derivando :

Passo 4

Seguimos para a aceleração a(t) = dv(t)dt , que é a derivada de a(t) = -0,8 times 400 sin(400 t) = -320 sin(400 t) , m/s^2 em relação ao tempo :
Derivando :

Resposta

As equações são:
v(t) = 0,8 cos(400 t) , m/s
e
a(t) = -320 sin(400 t) , m/s^2

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