Considere a onda plana e monocromática descrita pela equação E=E0 k cos (kappa y-omega t). Desenhe, o vetor campo elétrico no instante t=T / 4, em três pontos diferentes dos planos: a) y=0; b) y=lambda / 4; c) y=lambda / 2; d) y=3 lambda / 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas eletromagnéticas! A gente precisa entender a equação da onda dada, que é E = E0 k cos (kappa y - omega t). O conteúdo envolvido aqui inclui ondas planas, campos elétricos e como eles se comportam no espaço e no tempo. Para resolver, vamos precisar entender o que cada parte da equação representa e como calcular o campo elétrico em diferentes pontos e instantes de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação da onda:
  • E0 é a amplitude máxima do campo elétrico.
  • k é o vetor unitário na direção do campo elétrico.
  • kappa é o número de onda, relacionado ao comprimento de onda lambda pela relação kappa = 2pilambda.
  • omega é a frequência angular, ligada ao período T pela omega = 2piT.
  • y é a posição no espaço onde estamos avaliando o campo.
  • t é o tempo.

Passo 3

Nos pedem para desenhar o vetor campo elétrico E em quatro pontos diferentes ( y=0, y=lambda/4, y=lambda/2, y=3lambda/4) no instante t = T/4. Isso significa que precisamos calcular E para cada um desses valores de y quando t = T/4.

Passo 4

Vamos calcular o argumento do cosseno para cada ponto. Sabemos que:
kappa y - omega t = 2pilambda y - 2piT cdot T4 = 2pi ylambda - pi2
Agora, substituímos cada valor de y:
a) Para y=0:
2pi cdot 0lambda - pi2 = -pi2
b) Para y=lambda/4:
2pi cdot lambda/4lambda - pi2 = pi2 - pi2 = 0
c) Para y=lambda/2:
2pi cdot lambda/2lambda - pi2 = pi - pi2 = pi2
d) Para y=3lambda/4:
2pi cdot 3lambda/4lambda - pi2 = 3pi2 - pi2 = pi

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor do cosseno para cada argumento:
a) cos(-pi2) = 0
b) cos(0) = 1
c) cos(pi2) = 0
d) cos(pi) = -1

Passo 6

Substituímos esses valores na equação do campo elétrico:
a) E = E0 k cdot 0 = 0
b) E = E0 k cdot 1 = E0 k
c) E = E0 k cdot 0 = 0
d) E = E0 k cdot (-1) = -E0 k

Resposta

Em t = T/4, os vetores campo elétrico nos pontos especificados são:
a) y=0: E = 0
b) y=lambda/4: E = E0 k
c) y=lambda/2: E = 0
d) y=3lambda/4: E = -E0 k

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