Dois anéis de raios a e b(a>b) são carregados uniformemente com densidades de carga de sinais opostos. A anel maior com uma densidade linear de cargas +lambda, e o menor com -lambda.
a) Calcular o potencial elétrico para os pontos do eixo de simetria do sistema.
b) A partir da resposta anterior calcule o campo elétrico para os pontos ao longo do eixo de simetria (módulo, direção e sentido).
x=v0 t t=x20

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois anéis com raios e (onde ), carregados com densidades de carga lineares e , respectivamente. A gente vai calcular o potencial elétrico nos pontos do eixo de simetria desses anéis e, depois, o campo elétrico nesses mesmos pontos. Para isso, vamos precisar saber como calcular o potencial elétrico de um anel carregado e entender como derivar o campo elétrico a partir do potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o potencial elétrico V = 14pi varepsilon0 cdot Qraizr^2 + x^2 em um ponto ao longo do eixo de simetria. O potencial elétrico devido a um anel carregado em um ponto a uma distância Qa = +lambda cdot 2pi a do centro do anel é dado pela fórmula:
Va = 14pi varepsilon0 cdot Qaraiza^2 + x^2 = lambda cdot a2varepsilon0 raiza^2 + x^2
Onde:
  • Qb = -lambda cdot 2pi b é a carga total do anel
  • Vb = 14pi varepsilon0 cdot Qbraizb^2 + x^2 = -lambda cdot b2varepsilon0 raizb^2 + x^2 é o raio do anel
  • Vtotal = Va + Vb = lambda cdot a2varepsilon0 raiza^2 + x^2 - lambda cdot b2varepsilon0 raizb^2 + x^2 é a permissividade do vácuo
Para cada anel, a carga total é , onde é o raio do anel.
Vamos calcular o potencial dos dois anéis separadamente e depois somar, lembrando que as cargas têm sinais opostos.
Para o anel de raio com carga :
Para o anel de raio com carga :
Agora, somamos os potenciais dos dois anéis para obter o potencial total :

Passo 3

Agora que temos o potencial elétrico E = -dVdx ao longo do eixo, vamos encontrar o campo elétrico E = -ddx ( lambda cdot a2varepsilon0 raiza^2 + x^2 - lambda cdot b2varepsilon0 raizb^2 + x^2 ) . Sabemos que o campo elétrico é relacionado ao potencial pela derivada negativa:
E = -( lambda cdot a cdot x2varepsilon0 (a^2 + x^2)^3/2 - lambda cdot b cdot x2varepsilon0 (b^2 + x^2)^3/2 )
Vamos derivar E = -lambda cdot a cdot x2varepsilon0 (a^2 + x^2)^3/2 + lambda cdot b cdot x2varepsilon0 (b^2 + x^2)^3/2 em relação a E = lambda cdot b cdot x2varepsilon0 (b^2 + x^2)^3/2 - lambda cdot a cdot x2varepsilon0 (a^2 + x^2)^3/2 :
Simplificando, temos:

Resposta

O potencial elétrico nos pontos ao longo do eixo de simetria é dado por:
V = lambda cdot a2varepsilon0 raiza^2 + x^2 - lambda cdot b2varepsilon0 raizb^2 + x^2
E o campo elétrico correspondente é:
E = lambda cdot b cdot x2varepsilon0 (b^2 + x^2)^3/2 - lambda cdot a cdot x2varepsilon0 (a^2 + x^2)^3/2

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