Uma onda plana e monocromática é descrita pela equação
. Mostre que, se
, a componente
de
, não for nula, a lei de Gauss não é satisfeita. Sugestão: considere o fluxo total do campo elétrico através de uma superfície cúbica de lados de comprimento
e paralelos aos eixos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma onda eletromagnética descrita pela equação
. A matéria envolve ondas eletromagnéticas e a lei de Gauss. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo elétrico através de uma superfície e verificar se a lei de Gauss é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular a lei de Gauss. Ela estabelece que o fluxo elétrico total (
) através de uma superfície fechada é igual à carga elétrica total (
) dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
):
No caso de uma onda eletromagnética no vácuo, não temos cargas internas (
), então o fluxo total deveria ser zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através da superfície cúbica sugerida no enunciado. A superfície tem lados de comprimento
e está paralela aos eixos
,
e
.
A onda é
. Se
, isso significa que a componente
do campo elétrico não é nula. Vamos considerar cada face do cubo:
- Faces paralelas a
: O campo elétrico tem componente , então nessas faces, não será zero. - Outras faces: Como a onda só varia na direção
, as componentes e do campo elétrico não contribuem para o fluxo total.
Passo 4
Vamos calcular o fluxo através das duas faces paralelas ao eixo
:
Após integrar, devido à periodicidade da função cosseno e ao comprimento
, a integral não se anula se
.
Passo 5
Como o fluxo total
não é zero, isso implica que
, o que contraria a condição de uma onda eletromagnética no vácuo onde não há cargas internas. Portanto, a lei de Gauss não está satisfeita nesse caso.
Resposta
Concluímos que, se
, o fluxo elétrico total através da superfície cúbica não é zero, o que viola a lei de Gauss. Portanto, a lei de Gauss não é satisfeita quando a componente
de
não é nula.
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; b)
; c)
; d)
.