Uma onda plana e monocromática é descrita pela equação E=E0 cos (kappa y-omega t). Mostre que, se E0 y, a componente y de E0, não for nula, a lei de Gauss não é satisfeita. Sugestão: considere o fluxo total do campo elétrico através de uma superfície cúbica de lados de comprimento ell=pi / kappa e paralelos aos eixos x, y e z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma onda eletromagnética descrita pela equação . A matéria envolve ondas eletromagnéticas e a lei de Gauss. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo elétrico através de uma superfície e verificar se a lei de Gauss é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular a lei de Gauss. Ela estabelece que o fluxo elétrico total ( PhiE = oint E cdot dA = Qintvarepsilon0 ) através de uma superfície fechada é igual à carga elétrica total ( ) dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( ):
No caso de uma onda eletromagnética no vácuo, não temos cargas internas ( ), então o fluxo total deveria ser zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através da superfície cúbica sugerida no enunciado. A superfície tem lados de comprimento e está paralela aos eixos , e .
A onda é . Se , isso significa que a componente do campo elétrico não é nula. Vamos considerar cada face do cubo:
  • Faces paralelas a : O campo elétrico tem componente , então nessas faces, não será zero.
  • Outras faces: Como a onda só varia na direção , as componentes e do campo elétrico não contribuem para o fluxo total.

Passo 4

Vamos calcular o fluxo através das duas faces paralelas ao eixo PhiE = integral E cdot dA = integral E0 y cos (kappa y - omega t) cdot (pm y) cdot ell^2 , dy :
Após integrar, devido à periodicidade da função cosseno e ao comprimento , a integral não se anula se .

Passo 5

Como o fluxo total não é zero, isso implica que , o que contraria a condição de uma onda eletromagnética no vácuo onde não há cargas internas. Portanto, a lei de Gauss não está satisfeita nesse caso.

Resposta

Concluímos que, se , o fluxo elétrico total através da superfície cúbica não é zero, o que viola a lei de Gauss. Portanto, a lei de Gauss não é satisfeita quando a componente de não é nula.

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