Considere o operador linear T de R^3 definido por T(1,1,1)=(1,0,0), T(-2,1,0)=(0,-1,0) e T(-1,-3,-2)=(0,1,-1). T é inversível? Se for determine [T^-1].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que tá sendo pedido aqui. A questão fala sobre um operador linear que atua no espaço . A gente precisa descobrir se esse operador é inversível e, se for o caso, encontrar a matriz inversa de , que a gente chama de . Pra resolver isso, vamos precisar entender de álgebra linear, principalmente sobre operadores lineares, matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o operador T(1,1,1) = (1,0,0) atua. Ele recebe vetores em T(-2,1,0) = (0,-1,0) e retorna outros vetores em T(-1,-3,-2) = (0,1,-1) . A gente tem três vetores de entrada e suas respectivas imagens:
Para descobrir se é inversível, precisamos ver se ele é uma aplicação bijetora, ou seja, se é injetora e sobrejetora. No caso de operadores lineares em espaços finitos, como , isso se reduz a verificar se a matriz associada a é invertível, o que acontece se e somente se o determinante dessa matriz for diferente de zero.

Passo 3

Vamos montar a matriz de A = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 0 & 0 & -1 . Como é definido por suas imagens nos vetores , e , podemos construir a matriz cujas colunas são essas imagens:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 cdot -1 & 1 0 & -1 - 0 + 0 = 1 cdot [(-1)(-1) - (1)(0)] = 1 cdot (1 - 0) = 1 para ver se ela é invertível:
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz é invertível. Portanto, o operador também é inversível.

Passo 5

Agora que sabemos que A = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 0 & 0 & -1 é inversível, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 = 1 & 0 & 0 0 & -1 & -1 0 & 0 & -1 . Para isso, podemos usar a própria matriz e calcular sua inversa. Como é uma matriz triangular (toda abaixo ou acima da diagonal principal são zeros), a inversa também será triangular, e os elementos da inversa podem ser facilmente calculados.
Para a matriz:
A inversa será:

Resposta

O operador [T^-1] = 1 & 0 & 0 0 & -1 & -1 0 & 0 & -1 é inversível, e a matriz inversa é dada por:

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