Considere o operador linear de definido por e . é inversível? Se for determine .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que tá sendo pedido aqui. A questão fala sobre um operador linear que atua no espaço . A gente precisa descobrir se esse operador é inversível e, se for o caso, encontrar a matriz inversa de , que a gente chama de . Pra resolver isso, vamos precisar entender de álgebra linear, principalmente sobre operadores lineares, matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o operador atua. Ele recebe vetores em e retorna outros vetores em . A gente tem três vetores de entrada e suas respectivas imagens:
Para descobrir se é inversível, precisamos ver se ele é uma aplicação bijetora, ou seja, se é injetora e sobrejetora. No caso de operadores lineares em espaços finitos, como , isso se reduz a verificar se a matriz associada a é invertível, o que acontece se e somente se o determinante dessa matriz for diferente de zero.
Passo 3
Vamos montar a matriz de . Como é definido por suas imagens nos vetores , e , podemos construir a matriz cujas colunas são essas imagens:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante da matriz para ver se ela é invertível:
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz é invertível. Portanto, o operador também é inversível.
Passo 5
Agora que sabemos que é inversível, vamos encontrar a matriz inversa . Para isso, podemos usar a própria matriz e calcular sua inversa. Como é uma matriz triangular (toda abaixo ou acima da diagonal principal são zeros), a inversa também será triangular, e os elementos da inversa podem ser facilmente calculados.
Para a matriz:
A inversa será:
Resposta
O operador é inversível, e a matriz inversa é dada por: