Sabendo que o ângulo entre u e v é de 60^circ, determinar o ângulo formado pelos vetores 3 u e 2 v

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, u e v, que formam um ângulo de 60^circ entre si. O que precisamos descobrir é qual é o ângulo entre os vetores 3u e 2v. Para resolver isso, a gente vai usar conhecimentos de geometria vetorial, especificamente a fórmula do ângulo entre dois vetores usando o produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula que relaciona o ângulo entre dois vetores com o produto interno (também conhecido como produto escalar). A fórmula é a seguinte:
cos(theta) = a cdot b|a|,|b|
Aqui, theta é o ângulo entre os vetores a e b, a cdot b é o produto interno dos vetores, e |a|, |b| são as magnitudes (ou tamanhos) dos vetores.

Passo 3

Sabemos que o ângulo entre u e v é 60^circ. Aplicando a fórmula do produto interno, temos:
cos(60^circ) = u cdot v|u|,|v|
Como cos(60^circ) = 0,5, podemos escrever:
0,5 = u cdot v|u|,|v|
Isso nos diz que o produto interno u cdot v é igual a 0,5,|u|,|v|.

Passo 4

Agora, queremos encontrar o ângulo entre 3u e 2v. Vamos chamar esse ângulo de phi. Aplicando a mesma fórmula do produto interno para 3u e 2v:
cos(phi) = (3u) cdot (2v)|3u|,|2v|
Simplificando o produto interno e as magnitudes:
cos(phi) = 6,(u cdot v)6,|u|,|v|
Observe que o 6 no numerador e denominador se cancelam:
cos(phi) = u cdot v|u|,|v|
Mas sabemos que u cdot v|u|,|v| = cos(60^circ) = 0,5. Portanto:
cos(phi) = 0,5

Resposta

O ângulo entre os vetores 3u e 2v é de 60^circ.

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