Determine para que seja de o ângulo entre os vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de de modo que o ângulo entre os vetores e seja de . Para isso, vamos usar propriedades de vetores e trigonometria, especificamente a fórmula do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o produto escalar de dois vetores e é dado por:
onde é o ângulo entre eles. Nosso objetivo é usar essa fórmula para encontrar .
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar entre e . Multiplicamos as componentes correspondentes e somamos:
Passo 4
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores e . A magnitude de um vetor é:
Para :
Para :
Passo 5
Sabemos que o ângulo entre os vetores é , então . Substituindo tudo na fórmula do produto escalar:
Passo 6
Agora, temos a equação:
Vamos resolver para . Primeiro, multiplique ambos os lados por 2:
Agora, eleve ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz: