Determine para que seja de o ângulo entre os vetores e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de de modo que o ângulo entre os vetores e seja de . Para isso, vamos usar propriedades de vetores e trigonometria, especificamente a fórmula do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o produto escalar de dois vetores e é dado por:
onde é o ângulo entre eles. Nosso objetivo é usar essa fórmula para encontrar .

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre e . Multiplicamos as componentes correspondentes e somamos:

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores e . A magnitude de um vetor é:
Para :
Para :

Passo 5

Sabemos que o ângulo entre os vetores é , então . Substituindo tudo na fórmula do produto escalar:

Passo 6

Agora, temos a equação:
Vamos resolver para . Primeiro, multiplique ambos os lados por 2:
Agora, eleve ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraia de ambos os lados:
Divida por 3:
Agora, tire a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

O valor de que faz o ângulo entre e ser é .

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