Determine n para que seja de 60^circ o ângulo entre os vetores u=(2, n, 2) e jmath.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de de modo que o ângulo entre os vetores e seja de . Para isso, vamos usar propriedades de vetores e trigonometria, especificamente a fórmula do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o produto escalar de dois vetores a cdot b = |a| , |b| cos(theta) e é dado por:
onde é o ângulo entre eles. Nosso objetivo é usar essa fórmula para encontrar .

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre u cdot jmath = (2)(0) + (n)(1) + (2)(0) = 0 + n + 0 = n e . Multiplicamos as componentes correspondentes e somamos:

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores |a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2 e |u| = raiz2^2 + n^2 + 2^2 = raiz4 + n^2 + 4 = raizn^2 + 8 . A magnitude de um vetor |jmath| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 = 1 é:
Para :
Para :

Passo 5

Sabemos que o ângulo entre os vetores é n = |u| , |jmath| cos(60^circ) = raizn^2 + 8 times 1 times 12 = raizn^2 + 82 , então . Substituindo tudo na fórmula do produto escalar:

Passo 6

Agora, temos a equação:
n = raizn^2 + 82
Vamos resolver para 2n = raizn^2 + 8 . Primeiro, multiplique ambos os lados por 2:
(2n)^2 = (raizn^2 + 8)^2 Rightarrow 4n^2 = n^2 + 8
Agora, eleve ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
3n^2 = 8
Subtraia n^2 = 83 de ambos os lados:
n = pm raiz83 = pm 2raiz63
Divida por 3:
Agora, tire a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

O valor de que faz o ângulo entre e ser é .

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