Determine
para que seja de
o ângulo entre os vetores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de
de modo que o ângulo entre os vetores
e
seja de
. Para isso, vamos usar propriedades de vetores e trigonometria, especificamente a fórmula do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
onde
é o ângulo entre eles. Nosso objetivo é usar essa fórmula para encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar entre
e
. Multiplicamos as componentes correspondentes e somamos:
Passo 4
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores
e
. A magnitude de um vetor
é:
Para
:
Para
:
Passo 5
Sabemos que o ângulo entre os vetores é
, então
. Substituindo tudo na fórmula do produto escalar:
Passo 6
Agora, temos a equação:
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplique ambos os lados por 2:
Agora, eleve ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraia
de ambos os lados:
Divida por 3:
Agora, tire a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
O valor de
que faz o ângulo entre
e
ser
é
.