Considere um operador linear cujos autovetores são
Verifique se é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um operador linear com três autovetores específicos:
O que precisamos determinar é se é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de diagonalização e autovetores. Precisamos verificar se esses três autovetores formam uma base do espaço , ou seja, se são linearmente independentes e não se sobrepõem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que um operador linear seja diagonalizável. Um operador é diagonalizável se existe uma base do espaço vetorial composta apenas por autovetores de . Isso facilita muito o trabalho com , já que a matriz representativa dele nessa base será uma matriz diagonal.
Passo 3
Agora, para verificar se os autovetores formam uma base, precisamos checar se eles são linearmente independentes. Se forem, então é diagonalizável.
Passo 4
Para testar a independência linear, montamos uma matriz cujas colunas são esses autovetores e calculamos seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz :
Passo 5
Agora, calculamos o determinante de :
Passo 6
Como o determinante é diferente de zero, concluímos que os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Como temos três vetores linearmente independentes em , eles formam uma base desse espaço. Portanto, possui uma base de autovetores.
Resposta
Sim, o operador é diagonalizável porque seus autovetores são linearmente independentes e formam uma base de .