Dados subespaços
e
de um espaço vetorial
, a soma de
e
, denotada de
, é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser escritos como a soma de dois vetores, um em
e outro em
, ou seja:
a) Mostre que
é um subespaço de
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois subespaços
e
de um espaço vetorial
. O exercício pede pra gente mostrar que a soma desses dois subespaços,
, também é um subespaço de
. A gente vai precisar usar os conceitos de subespaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas pra isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de
se:
- O vetor zero de
está em . - Se você pegar qualquer dois vetores em
e somar, o resultado também está em . - Se você multiplicar qualquer vetor de
por um escalar, o resultado também está em .
Vamos verificar essas três condições para
.
Passo 3
1. O vetor zero está em
:
Sabemos que tanto
quanto
são subespaços, então ambos contêm o vetor zero, ou seja,
e
.
Se a gente soma dois vetores do zero, temos:
Portanto,
.
Passo 4
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores qualquer em
. Vamos chamar esses vetores de
e
.
Pelo que sabemos:
Agora, vamos somar
e
:
Como
e
são subespaços, as somas
estão em
e
estão em
. Portanto:
Passo 5
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer
em
e um escalar
.
Sabemos que:
Agora, multiplicamos
por
:
Como
e
são subespaços,
e
. Então:
Resposta
Assim, verificamos que
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto,
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Entalpia padrão das substâncias envolvidas na reação
Composto |
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A reação ocorrida na queima de um palito de fósforo deve-se a uma substância chamada trissulfeto de tetrafósforo, que inflama na presença de oxigênio, e pode ser representada pela equação:
.
A quantidade de calor na reação de combustão de 22 g de
é, aproximadamente,
kJ .
a) liberado; 367,4
b) liberado; 338,4
c) absorvido; 3384
d) absorvido; 3674
e) liberado; 3674
A quantidade de calor
a) liberado; 367,4
b) liberado; 338,4
c) absorvido; 3384
d) absorvido; 3674
e) liberado; 3674
Calcular o módulo dos segúintes vetores:
Considere um operador linear
cujos autovetores são
Verifique se
é diagonalizável.
Cite os seguintes postulados da determinação da reta e do plano.(1pt)