Dados subespaços e de um espaço vetorial , a soma de e , denotada de , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser escritos como a soma de dois vetores, um em e outro em , ou seja:
a) Mostre que é um subespaço de ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois subespaços e de um espaço vetorial . O exercício pede pra gente mostrar que a soma desses dois subespaços, , também é um subespaço de . A gente vai precisar usar os conceitos de subespaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas pra isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se:
  1. O vetor zero de está em .
  2. Se você pegar qualquer dois vetores em e somar, o resultado também está em .
  3. Se você multiplicar qualquer vetor de por um escalar, o resultado também está em .
Vamos verificar essas três condições para .

Passo 3

1. O vetor zero está em :
Sabemos que tanto quanto são subespaços, então ambos contêm o vetor zero, ou seja, e .
Se a gente soma dois vetores do zero, temos:
Portanto, .

Passo 4

2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores qualquer em . Vamos chamar esses vetores de e .
Pelo que sabemos:
Agora, vamos somar e :
Como e são subespaços, as somas estão em e estão em . Portanto:

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em e um escalar .
Sabemos que:
Agora, multiplicamos por :
Como e são subespaços, e . Então:

Resposta

Assim, verificamos que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto, é um subespaço de .

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